山西省晋文源2020年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 数轴上点 A ， B 表示的数分别是5，－2，它们之间的距离可以表示为（）

A、 $| － 2 － 5 |$ B、 $－ 2 － 5$ C、 $－ 2 + 5$ D、 $| － 2 + 5 |$

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2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A、摸出的是3个白球 B、摸出的是3个黑球 C、摸出的球中至少有1个是黑球 D、摸出的是2个白球、1个黑球

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2)}^{2} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ B、 $3 x^{2} - 4 x^{2} = - 1$ C、 $(\sqrt{75} - \sqrt{15}) \div \sqrt{3} = 2 \sqrt{5}$ D、 ${(x^{- 2})}^{- 3} = x^{6}$

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5. 不等式x﹣2＞ $\frac{6 x + 2}{4}$ 的解集是（）

A、x＜﹣5 B、x＞﹣5 C、x＞5 D、x＜5

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6. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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7. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度 $y$ (单位： $c m$ )与观察时间 $x$ (单位：天)的关系，并画出如图所示的图象( $C D / / x$ 轴)，该植物最高的高度是（）

A、 $50 c m$ B、 $20 c m$ C、 $16 c m$ D、 $12 c m$

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8. 如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（） .

A、 $\sqrt{3}$ cm B、2 $\sqrt{3}$ cm C、2cm D、4cm

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9. 如图，已知在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点， $△ A O B$ 是直角三角形， $∠ A O B = 90 °$ ， $O B = 2 O A$ ，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 上，若点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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10. 如图，点 $A$ 在 $x$ 轴上， $∠ O A B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $O B = 6$ ，将 $Δ O A B$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $120 °$ 得到 $Δ O A' B'$ ，则点 $B'$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， 3 \sqrt{3})$ B、 $(3 ， - 3 \sqrt{3})$ C、 $(3 \sqrt{3} ， 3)$ D、 $(3 \sqrt{3} ， - 3)$

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二、填空题

11. 据2020年3月公布的《山西省2019年国民经济和社会发展统计公报》显示，经初步核算，2019年我省实现地区生产总值17026.68亿元，比上年增长6.2%．数据17026.68亿元用科学记数法表示为元．

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12. 我们规定把同一副扑克牌中的红桃 $A$ ，黑桃 $A$ ，梅花 $A$ 三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为．

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13. 杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》)直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．解答这个问题可知长为步．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上， $∠ E B C = 45 °$ ， $B E$ 交 $A H$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ， $C F ⊥ C D$ ．若 $B H = 1$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，则 $E F$ 的长为．

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = B C = 2 ， ∠ A B C = 60^{°}$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A C$ ， $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $A E$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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三、解答题

16.

(1)、解方程组： ${\begin{array}{l} 4 (x - y - 1) + 2 = 3 (1 - y) \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \end{array}$

(2)、已知实数 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 9 = 0$ ，求 $\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 2}{a^{2} - 1} \div \frac{(a + 1) (a + 2)}{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $C B$ 的中点，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠后得到 $△ A E D$ ，过点 $B$ 作 $B F // A C$ 交 $A E$ 的延长线于点 $F$ .求证： $B F = E F$ ．

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18. 阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．

例：当代数式 $x^{2} + 3 x + 5$ 的值为7时，求代数式 $3 x^{2} + 9 x － 2$ 的值．

解：因为 $x^{2} + 3 x + 5 = 7$ ，所以 $x^{2} + 3 x = 2$ ．

所以． $3 x^{2} + 9 x － 2 = 3 （ x^{2} + 3 x ）－ 2 = 3 \times 2 － 2 = 4$

以上方法是典型的整体代入法．

请根据阅读材料，解决下列问题：

(1)、已知 $a^{2} + 3 a － 2 = 0$ ，求 $5 a^{3} + 15 a^{2} － 10 a + 2020$ 的值．

(2)、我们知道方程 $x^{2} + 2 x － 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1 ， x_{2} = － 3$ ，现给出另一个方程 $（ 2 x + 3 ）^{2} + 2 （ 2 x + 3 ）－ 3 = 0$ ，则它的解是．

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19. 某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀．下表是两队各队员的比赛成绩．

	1 号	2 号	3 号	4 号	5 号	总数
甲队	103	102	98	100	97	500
乙队	97	99	100	96	108	500

经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一．学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定：

(1)、甲、乙两队的优秀率分别为， .

(2)、甲队比赛数据的中位数为个；乙队比赛数据的中位数为个；

(3)、分别计算甲、乙两队比赛数据的方差；

(4)、根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由．

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20. 如图1，一辆汽车从 $A$ 地出发去往 $C$ 地， $A$ ， $C$ 两地相距 $273 k m$ .由于 $A$ ， $C$ 之间某路段正在修路．驾驶员临时改变路线，先由 $A$ 地开往 $B$ 地，再由 $B$ 地开往 $C$ 地，如图2是从该场景中抽象出来的示意图，已知 $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，则这样的行驶路程比原来路程 $273 k m$ 远了多少？(结果精确到 $1 k m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ )

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21. “十三五”以来，山西省共解决372个村、35.8万农村人口的饮水型氟超标问题，让农村群众真正喝上干净水、放心水、安全水．某公司抓住商机，根据市场需求代理 $A$ ， $B$ 两种型号的净水器，已知每台 $A$ 型净水器比每台 $B$ 型净水器进价多200元，用5万元购进 $A$ 型净水器与用4.5万元购进 $B$ 型净水器的数量相等．

(1)、求每台 $A$ 型， $B$ 型净水器的进价各是多少元？

(2)、该公司计划购进 $A$ ， $B$ 两种型号的净水器共55台进行试销，其中 $A$ 型净水器为 $m$ 台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．则最多可购进 $A$ 型号净水器多少台？

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22. 综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，以 $B C$ 为直径作半圆 $O$ ，以 $D$ 为圆心， $D A$ 为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ，与半圆 $O$ 交于点 $P$ .我们称点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形 $A B C D$ 无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．

性质探究：如图2，连接 $D P$ 并延长交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $D E$ 为半圆 $O$ 的切线．

证明：连接 $O P ， O D$ ．

由作图可知， $D P = D C ， O P = O C$ ，

又 $∵ O D = O D$ ．

$∴ △ O P D ≌ △ O C D . （ S S S ）$

$∴ ∠ O P D = ∠ O C D = 90 °$ ，∴ $D E$ 是半圆 $O$ 的切线．

问题解决：

(1)、如图3，在图2的基础上，连接 $O E$ .请判断 $∠ B O E$ 和 $∠ C D O$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，请直接写出线段 $D E ， B E ， C D$ 之间的数量关系；

(3)、如图4，已知点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 的一个“奇妙点”，点 $O$ 为 $B C$ 的中点，连接 $D P$ 并延长交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $C P$ 并延长交 $A B$ 于点 $F$ ，请写出 $B E$ 和 $A B$ 的数量关系，并说明理由；

(4)、如图5，已知点 $E ， F ， G ， H$ 为正方形 $A B C D$ 的四个“奇妙点”．连接 $A G ， B H ， C E ， D F$ ，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．

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23. 综合与探究：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{6} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点(点 $B$ 在点 $A$ 的右侧)，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，它的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $l$ 经过 $C$ ， $D$ 两点，连接 $A C$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两点的坐标及直线 $l$ 的函数表达式；

(2)、探索直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使 $△ A C E$ 为直角三角形，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、若点 $P$ 是直线 $l$ 上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点 $Q$ ：
①使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由；

②使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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