江西省南昌市2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 19的相反数是（）

A、﹣19 B、- $\frac{1}{19}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、19

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2. 如图所示，把图1中正方体的一个角切掉，形成了如图2的几何体，则图2的俯视图是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式计算正确的是（）．

A、 $2 a^{2} - a^{2} = a^{2}$ B、 ${(3 a)}^{2} = 3 a^{2}$ C、 $- 2 (a - 1) = - 2 a + 1$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 对于一列数据，如果去掉一个最大值和一个最小值，那么这列数据分析一定不受影响的是（）．

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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5. 如图，在 $3 \times 4$ 的正方形网格中，能画出与“格点 $△ A B C$ ”面积相等的“格点正方形”有（）个．

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 对于二次函数 $y = a x^{2} + (1 - 2 a) x (a > 0)$ ，下列说法错误的是（）．

A、该二次函数图象的对称轴可以是 $y$ 轴 B、该二次函数图象的对称轴不可能是 $x = 1$ C、当 $x > 2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 的值增大而增大 D、该二次函数图象的对称轴只能在 $y$ 轴的右侧

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二、填空题

7. 计算： $\sqrt{4} - 3 =$ ．

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8. 据北晚新视觉网3月20日报道，“新冠肺炎肆虐全球，意大利尤其严重，据民防都门预计，该国日前每月急需9000万只口罩．其中9000万用科学记数法表示为．

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9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 $x$ 斤，一只燕的重量为 $y$ 斤，则可列方程为．

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10. 已知 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} - 3 α - α β$ 的值为．

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11. 已知菱形 $O A B C$ 在坐标系中如图放置，点 $C$ 在 $x$ 轴上，若点 $A$ 坐标为 $(3 ， 4)$ ，经过 $A$ 点的双曲线交 $B C$ 于 $D$ ，则 $△ O A D$ 的面积为．

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12. 在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $P$ 是斜边 $A B$ 上一点，若 $△ P A C$ 是等腰三角形，则线段 $A P$ 的长可能为．

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三、解答题

13.

(1)、化简： $(2 x + 1) (2 x - 1) + (x + 1) (1 - 2 x)$

(2)、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $D C$ ， $A C$ 的中点，连接 $E F$ ， $B M$ ．求证： $E F = B M$ ．

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14. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 2 x} \div (x - \frac{4}{x})$ ，其中 $x = 2 \sqrt{3} - 2$ ．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A D$ 边上的点，且 $A E = C F$ ．若 $A C ⊥ E F$ ，试判断四边形 $A E C F$ 的形状，请说明理由．

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16. 《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（ $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ）．

(1)、小猪佩奇随机坐到 $A$ 座位的概率是；

(2)、若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．

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17. 如图，在 $6 \times 7$ 的正方形的网格图中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均为格点，仅用无刻度直尺按要求作图．

(1)、在图1中，画一条射线 $A M$ ，使 $∠ B A M = 45 °$ ；

(2)、在图2中，在线段 $A B$ 上求点 $P$ ，使 $∠ C P A = 45 °$ ．

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18. 为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（

x

分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

分数段（分）	频数（人）	频率
$51 \leq x < 61$	$a$	0.1
$61 \leq x < 71$	18	0.18
$71 \leq x < 81$	$b$	$n$
$81 \leq x < 91$	35	0.35
$91 \leq x < 101$	12	0.12
合计	100	1

(1)、填空：

a =

，

b =

，

n =

；

(2)、将频数分布直方图补充完整；

(3)、该校对成绩为

91 \leq x \leq 100

的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为

1 ： 3 ： 6

，请你估算全校获得二等奖的学生人数；

(4)、结合调查的情况，为了提高疫情防控意识，请你给学校提一条合理性建议．

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19. 如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图．点 $A$ ， $B$ 是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手 $C D$ 与两个活动环 $A D$ ， $B C$ 相连，现测得
$A D = B C = 2.6 cm$ ， $A B = 17 cm$ ，如图2，当 $A$ ， $D$ ， $C$ 三点共线时，恰好 $A C ⊥ B C$ ．

(1)、请求把手 $C D$ 的长；

(2)、如图3，当 $C D // A B$ 时，求 $∠ A D C$ 的度数．

（参考数据： $\sin {57.5}^{°} = 0.843$ ， $\cos {57.5}^{°} = 0.538$ ， $\tan {57.5}^{°} = 1.570$ ）

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20. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A = 45^{°}$ ， $B D ∥ O C$ 交AC的延长线于点 $D$ ．

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ D = 30^{°}$ ， $O C = 2$ ．
①求 $∠ A B C$ 的度数；

②求 $A B$ 的长．

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21. 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究，下面是小明同学探究过程，请补充完整：

如图1，已知在 $Rt △ A B C$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $∠ A = 30^{°}$ ， $B C = 2 cm$ ，点 $P$ 为 $A B$ 边上的一个动点，连接 $P C$ ．设 $B P = x cm$ ， $C P = y cm$ ．

(1)、（初步感知）

当 $C P ⊥ A B$ 时，则① $x =$ ， ② $y =$ ；

(2)、（深入思考）

试求y与x之间的函数关系式并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、通过取点测量，得到了

x

与

y

的几组值，如下表：

$x / cm$	0	0.5	1	1.5	2.	2.5	3	3.5	4
$y / cm$	2	1.8	1.7	_	2	2.3	2.6	3.0	_

①计算并补全表格（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

②建立平面直角坐标系，如图2，描出已补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

③结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质.

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22. 已知：在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ， $∠ A C B = 30^{°}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上一动点，以 $A D$ 为边，在 $A D$ 的右侧作等边 $△ A D E$ ．

(1)、当 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 时，如图1，四边形 $A D C E$ 是形；

(2)、过 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于 $F$ ，如图2，求证： $F$ 为 $A C$ 的中点；

(3)、若 $A B = 2$ ．
①当 $D$ 为 $B C$ 的中点时，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于 $G$ ，如图3，求 $E G$ 的长；

②点 $D$ 从 $B$ 点运动到 $C$ 点，则点 $E$ 所经过路径长为（直接写出结果）．

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23. 已知点 $P$ 为抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} (x > 0)$ 上一动点，以 $P$ 为顶点，且经过原点 $O$ 的抛物线，记作“ $y_{P}$ ”，设其与 $x$ 轴另一交点为 $A$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、①当 $△ O P A$ 为直角三角形时，求 $m$ 的值.
②当 $△ O P A$ 为等边三角形时，求此时“ $y_{P}$ ”的解析式.

(2)、若 $P$ 点的横坐标分别为1，2，3，…… $n$ （ $n$ 为正整数）时，抛物线“ $y_{P}$ ”，分别记作“ $y_{P_{1}}$ ”，“ $y_{P_{2}}$ ”…“ $y_{P_{n}}$ ”，设其与 $x$ 轴另一交点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ … $A_{n}$ ，过 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，…， $P_{n}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $H_{1}$ ， $H_{2}$ ， $H_{3}$ ，…， $H_{n}$ ．
①求 $P_{n}$ 的坐标和 $O A_{n}$ 的坐标；（用含 $n$ 的代数式表示）

②当 $P_{n} H_{n} - O A_{n} = 16$ 时，求 $n$ 的值；

③是否存在这样的 $A_{n}$ ，使得 $∠ O P_{4} A_{n} = 90 °$ ？若存在，求 $n$ 的值；若不存在，说明理由．

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