上海市奉贤区2020届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）

A、1.5小时 B、1.0小时 C、0.9小时 D、0.6小时

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2. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线 $O A$ ，终边为射线 $O P$ ，过点P作直线 $O A$ 的垂线，垂足为M，将点M到直线 $O P$ 的距离表示成x的函数 $f (x)$ ，则 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设函数 $f (x) = \log_{a} (1 - a^{x})$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，若 $n \in N^{*}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a^{f (n)}}{a^{n} + a} =$ （）

A、1 B、a C、 $\frac{1}{a}$ D、 $\frac{1}{a}$ 或a

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二、填空题

4. 球的表面积为 $16 π {cm}^{2}$ ，则球的体积为 .

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5. 已知圆的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 6 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{array}$ ，则此圆的半径是

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6. 设 $z = 2021 + b i$ （ $i$ 为虚数单位），若 $z \cdot \bar{z} = 2029^{2}$ ，则实数 $b =$

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7. 已知 $P$ 为曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上位于第一象限内的点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为 $Γ$ 的两焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 是直角，则点P坐标为

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8. 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 \\ x \leq 1 \\ y \leq 2 \end{array}$ 上的一个动点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的最大值是．

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9. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是（结果用数值表示）

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10. $△ ABC$ 中， ${sin}^{2} A \leq {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - sinBsinC$ ，则A的取值范围为．

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项不为零，且 $a_{3}$ 、 $a_{13}$ 、 $a_{63}$ 成等比数列，则公比是

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M、N分别是 $C D$ 、 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的大小是．

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13. 集合 $A = {x | \frac{2^{x} - 2}{2^{x} - 4} \leq 0}$ ， $B = {x | | x - a | \leq 2}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数a的取值范围是

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14. 三个同学对问题“已知 $m, n \in R^{+}$ ，且 $m + n = 1$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值”提出各自的解题思路：
甲： $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m} + \frac{m + n}{n} = 2 + \frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ ，可用基本不等式求解；

乙： $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m m} = \frac{1}{m n} = \frac{1}{m (1 - m)}$ ，可用二次函数配方法求解；

丙： $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = (\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) (m + n) = 2 + \frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ ，可用基本不等式求解；

参考上述解题思路，可求得当 $x =$ 时， $y = \frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{100 - x^{2}}$ （ $0 < x < 10$ ， $a > 0$ ）有最小值

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15. 在平面直角坐标系内有两点 $A (m, - 1)$ ， $B (2, - 1)$ ， $m < 2$ ，点 $A$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上， $F$ 为抛物线的焦点，若 $2 | A B | + | A F | = 6$ ，则 $m =$

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三、解答题

16. 如图，已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面边长 $A B = 2$ ，侧棱 $B B_{1} = 4$ ，过点B作 $B_{1} C$ 的垂线交侧棱 $C_{1} C$ 于点E，交 $B_{1} C$ 于点F.

(1)、求 $E C$ 的长；

(2)、求 $A_{1} B$ 与平面 $B E D$ 所成的线面角.

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17. 已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3}{2} x, \sin \frac{3}{2} x)$ ， $\vec{b} = (\sin \frac{x}{2}, - \cos \frac{x}{2})$ （ $x \neq k π$ ， $k \in Z$ ），令 $f (x) =$ $\frac{{(λ \vec{a} + \vec{b})}^{2}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ （ $λ \in R$ ）.

(1)、化简 $f (x) = \frac{{(λ \vec{a} + \vec{b})}^{2}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ ，并求当 $λ = 1$ 时方程 $f (x) = - 2$ 的解集；

(2)、已知集合 $P = {h (x) | h (x) + h (- x) = 2$ ， $D$ 是函数 $h (x)$ 与 $h (- x)$ 定义域的交集且 $D$ 不是空集 $}$ ，判断元素 $f (x)$ 与集合 $P$ 的关系，说明理由.

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18. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 $v$ （千米/小时）的平方成正比，比例系数为 $b$ （ $b > 0$ ），固定部分为1000元.

(1)、把全程运输成本 $y$ （元）表示为速度 $v$ （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)、为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

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19. 直线 $L_{1} : \sqrt{2} x + y - 3 \sqrt{3} = 0$ 上的动点 $P$ 到点 $T_{1} (9, 0)$ 的距离是它到点 $T (1, 0)$ 的距离的3倍.

(1)、求点P的坐标；

(2)、设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点是F，双曲线经过动点P，且 $\vec{P F} \cdot \vec{T T_{1}} = 0$ ，求双曲线的方程；

(3)、点 $T (1, 0)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点为 $Q$ ，试问能否找到一条斜率为 $k$ （ $k \neq 0$ ）的直线 $L$ 与（2）中的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，且满足 $| Q M | = | Q N |$ ，若存在，求出斜率 $k$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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20. 两个数列 ${α_{n}}$ 、 ${β_{n}}$ ，当 ${α_{n}}$ 和 ${β_{n}}$ 同时在 $n = n_{0}$ 时取得相同的最大值，我们称 ${α_{n}}$ 与 ${β_{n}}$ 具有性质 $P$ ，其中 $n \in N^{*}$ .

(1)、设 ${(1 + x)}^{2022}$ 的二项展开式中 $x^{k}$ 的系数为 $a_{k}$ （ $k = 0, 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 2022$ ）， $k \in N$ ，记 $a_{0} = c_{1}$ ， $a_{1} = c_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，依次下去， $a_{2022} = c_{2023}$ ，组成的数列是 ${c_{n}}$ ；同样地， ${(x - \frac{1}{x})}^{2022}$ 的二项展开式中 $x^{k}$ 的系数为 $b_{k}$ （ $k = 0, 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 2022$ ）， $k \in N$ ，记 $b_{0} = d_{1}$ ， $b_{1} = d_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，依次下去， $b_{2022} = d_{2023}$ ，组成的数列是 ${d_{n}}$ ；判别 ${c_{n}}$ 与 ${d_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，请说明理由；

(2)、数列 ${t - d n}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，数列 ${1982 - 3^{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $T_{n}$ ，若 ${S_{n}}$ 与 ${T_{n}}$ 具有性质 $P$ ， $d, t \in N^{*}$ ，则这样的数列 ${t - d n}$ 一共有多少个？请说明理由；

(3)、两个有限项数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = λ (b_{n + 1} - b_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 0$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 具有性质 $P$ ，请说明理由.

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