湖南省长沙市2020年中考数学四模试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 有理数－2的绝对值是（）

A、2 B、－2 C、－ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 在函数y= $\sqrt{x} + \sqrt{- x}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x≥0 B、x≤0 C、x=0 D、任意实数

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3. 2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（）

A、 $665.3 \times 10^{8}$ B、 $6.653 \times 10^{2}$ C、 $6.653 \times 10^{10}$ D、 $6.653 \times 10^{9}$

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4. 图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 已知多边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（）

A、五边形 B、七边形 C、九边形 D、不能确定

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6. 下列运算正确的是（）

A、2a+3a＝5a² B、（﹣ab²）³＝﹣a³b⁶ C、a²•a³＝a⁶ D、（a+2b）²＝a²+4b²

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7. 已知点P(3 $a$ ， $a$ +2)在x轴上，则P点的坐标是（）

A、(3，2) B、(6，0) C、(-6，0) D、(6，2)

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8. 已知x₁ ， x₂是方程 $x^{2} - \sqrt{5} x + 1 = 0$ 的两根，则x₁²+x₂²的值为（）

A、3 B、5 C、7 D、4

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9. 下列命题正确的是（）

A、同旁内角互补 B、一组数据的方差越大，这组数据波动性越大 C、若∠α＝72°55′，则∠α的补角为107°45' D、对角线互相垂直的四边形是菱形

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10. 如图，BC是半圆O的直径，D ， E是 $\overset{⌢}{B C}$ 上两点，连接BD ， CE并延长交于点A ，连接OD ， OE ，如果 $∠ D O E = 40 °$ ，那么 $∠ A$ 的度数为（）

A、35° B、40° C、60° D、70°

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝ $\frac{1}{2}$ BC，若AB＝10，则EF的长是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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12. 已知点A(﹣3，y₁)，B(2，y₂)均在抛物线y＝ax²+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若y₁＞y₂≥n，则m的取值范围是（）

A、﹣3＜m＜2 B、﹣ $\frac{3}{2}$ ＜m＜- $\frac{1}{2}$ C、m＞﹣ $\frac{1}{2}$ D、m＞2

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二、填空题

13. 如果代数式 $- 2 a^{2} + 3 b + 8$ 的值为1，那么代数式 $4 a^{2} - 6 b + 2$ 的值等于．

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14. 晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时．正面向上的概率为．连续3次都是正面向上的概率为．

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15. 如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n， $\frac{2}{3}$ )，则点D的坐标是．

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16. 如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是cm² ．

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17. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

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18. 如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{3}$ tan30°+ $\sqrt[3]{8}$ +（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^﹣1+（﹣1）²⁰²⁰

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20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．

(1)、以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A₁B₁C₁ ，写出点A₁的坐标；

(2)、求出（1）中点B旋转到点B₁所经过的路径长（结果保留根号和π）．

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21. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字40个，比赛结束后随机抽查部分学生听写“正确的字数”，以下是根据抽查结果绘制的统计图表．

频数分布表

组别	正确的字数 $x$	人数
$A$	0.5~8.5	10
$B$	8.5~16.5	15
$C$	16.5~24.5	25
$D$	24.5~32.5	$m$
$E$	32.5~40.5	$n$

根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中“

C

组”所对应的圆心角的度数是；

(3)、若该校共有1210名学生，如果听写正确的字数少于25，则定为不合格；请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．

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22. 如图，▱ABCD中，

(1)、作边AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F；
（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：

(2)、已知▱ABCD的面积为8，求四边形EBCD的面积．

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23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元。经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件.设每件衬衫降价x元.

(1)、降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件；（用含x的式子表示）

(2)、为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施。但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？

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24. 如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，以AB为直径的⊙O交BC于点D.过点D的⊙O的切线垂直AC于点F，交AB的延长线于点E.

(1)、连接OD，则OD与AC的位置关系是.

(2)、求AC的长.

(3)、求sinE的值.

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25. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．

(1)、如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣1的距离为多少？

(2)、如图2，点P是反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ 在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d₀ ，问是否存在点P，使d₀＝ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

(3)、如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x²﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．

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26. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过点B(4，0)，C(0，﹣2)，对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；

(3)、点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．

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