湖南省永州市2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在﹣1、1、 $\sqrt{2}$ 、2这四个数中，最小的数是（）

A、﹣1 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该数据用科学记数法可表示为（）

A、0.927×10¹⁰ B、92.7×10¹⁰ C、9.27×10¹¹ D、9.27×10⁹

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3.
如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）

A、30° B、35° C、40° D、50°

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4. 如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）

A、8，9 B、8，8.5 C、16，8.5 D、16，10.5

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5. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A、π B、2π C、3π D、（ $\sqrt{3}$ +1）π

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6. 如图，边长为12 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）

A、A处 B、B处 C、C处 D、D处

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7. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、②③④

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8. 如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ $\frac{1}{4}$ AB，AN＝ $\frac{1}{4}$ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16}$

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9. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m ， DE的长为10m ，则树AB的高度是（）m ．

A、20 $\sqrt{3}$ B、30 C、30 $\sqrt{3}$ D、40

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10.
如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB= $\frac{1}{2}$ BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S_▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE= $\frac{1}{4}$ BC，成立的个数有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．

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12. 已知关于x的分式 $\frac{x - a}{x + 1}$ ＝0无解，则a＝．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．

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14. 从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数 $y = (5 - m^{2}) x$ 和关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} + m x + 1 = 0$ 中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．

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15. 荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（ $\sqrt{3}$ ≈1.73，结果精确到0.1）．

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16. 若关于x的一元二次方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 m x - 4 m + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 ${(m - 2)}^{2} - 2 m (m - 1)$ 的值为．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上，且OA＝O B.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为.

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18. 一列数a₁ ， a₂ ， a₃…满足条件a₁＝ $\frac{1}{2}$ ，a_n＝ $\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ （n≥2，且n为整数），则a₂₀₁₉＝．

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三、解答题

19. 计算：6sin45°+|2 $\sqrt{2}$ ﹣7|﹣（ $\frac{1}{2}$ ）³+（2020﹣ $\sqrt{2020}$ ）⁰

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20. 先化简，再求值：1- $\frac{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}{a^{2} - a b} \div \frac{a + 2 b}{a - b}$ ，其中a、b满足 ${(a - \sqrt{2})}^{2} + \sqrt{b+1} = 0$ ．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + (4 m + 1) = 0$ 有实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围.

(2)、若该方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，求 $m$ 的值.

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22.
我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)、m= ， n= ．

(2)、补全上图中的条形统计图．

(3)、若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．

(4)、在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）

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23. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.

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24. 如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？

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25. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D ．

(1)、求证：△DAC∽△DBA；

(2)、过点C作⊙O的切线CE交AD于点E ，求证：CE＝ $\frac{1}{2}$ AD；

(3)、若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G ，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．

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26. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

(1)、求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

(2)、点p是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

(3)、在抛物线上是否存在异于B，D的点Q，使 $△ B D Q$ 中BD边上的高为 $2 \sqrt{2}$ ，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

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