浙江省杭州市2020届高三下学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ， $B = {x | y = \ln (x + 1)}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $[- 1, 2]$

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2. 设 $M$ 为不等式 ${\begin{array}{l} x + y - 1 < 0 \\ x - y + 1 > 0 \end{array}$ 所表示的平面区域，则位于M内的点是（）

A、(0，2) B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, - 2)$ D、(2，0)

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3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. “ $a = 3$ ”是“函数 $f (x) = | x - 1 | + | x - a | (x \in R)$ 的最小值等于2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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5. 在我国古代数学著作《详解九章算法》中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：6=3+3则这个表格中第8行第6个数是（）

A、21 B、28 C、35 D、56

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6. 函数 $y = \frac{1}{e^{x} - 4 x - 1}$ （其中e为自然对数的底数）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷n次，设抛掷次数为随机变量 $ξ_{i}$ ， $i = 1, 2$ .若 $n_{1} = 3, n_{2} = 5$ ，则（）

A、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin (x + a) (x \leq 0) \\ \cos (x + b), (x > 0) \end{array}$ 是偶函数，则 $a, b$ 的值可能是（）

A、 $a = \frac{π}{3}$ ， $b = \frac{π}{3}$ B、 $a = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \frac{π}{6}$ C、 $a = \frac{π}{3}$ ， $b = \frac{π}{6}$ D、 $a = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \frac{5 π}{6}$

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9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为非零不共线向量，若 $| \vec{a} - t \vec{c} + (1 - t) \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{c} | (t \in R)$ 则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ C、 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{4 a_{n + 1}} - \frac{3}{4} (n \in N^{*})$ .若存在实数c.使不等式 $a_{2 n} < c < a_{2 n - 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，当 $a_{1} = 1$ 时，c=（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、双空题

11. 已知 $a, b \in R$ ，复数 $z = a - i$ 且 $\frac{z}{1 + i} = 1 + b i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a b =$ ， $| z | =$ ．

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12. ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的所有二次项系数和为常数项为

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13. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，P为该双曲线上一点且 $2 | P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则该双曲线的离心率为渐近线方程为

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 \sin^{2} \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin A$ ， $\sin (B + C) = 2 \cos B \sin C$ .则 $A$ = ， $\frac{A C}{A B}$ =

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三、填空题

15. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2} ⩾ 4$ ， $S_{4} ⩽ 16$ ，则 $a_{3}$ 的最大值是

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16. 安排ABCDEF共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者 $A$ 安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有种

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17. 已知函数 $f (x) = | x^{3} - a | + | 3 x - b | (a, b \in R)$ .当 $x \in [0, 2]$ ， $f (x)$ 的最大值为 $M (a, b)$ ，则 $M (a, b)$ 的最小值为

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n ω x + \sqrt{3} c o s^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $ω > 0$

(1)、若 $ω = 1$ .求 $f (x)$ 的单调递增区间

(2)、若 $f (\frac{π}{3}) = 1$ .求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 的最大值

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点.

(1)、求证：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，且二面角 $P - A C - E$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $E A C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = \frac{1}{4}$ ， $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $b_{2} \cdot S_{6} = 81$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、 $c_{n} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \cdot \cdot \cdot (1 - a_{n})$ ， $T_{n} = \frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{a_{2}}{c_{2}} + \frac{a_{3}}{c_{3}} \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{c_{n}}$ ，若对任意的正整数 $n$ ，都有 $4 a T_{n} < c_{n}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围

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21. 如图，已知 $M (1 ， 2)$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，过点 $D (2 ， - 2)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A B$ 两点（ $A B$ 两点异于M），记直线 $A M$ ， $B M$ 的料率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$

(1)、求 $k_{1} k_{2}$ 的值

(2)、记 $△ A M D$ ， $△ B M D$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $k_{1} \in [1 ， 2]$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \ln (x + a)$ ， $(x ⩾ 0)$ .其中 $a > 0$ ，

(1)、若 $a = 1$ .求证： $f (x) > 0$ .

(2)、若不等式 $f (x) ⩾ \sqrt{2 x + a + 1} - 1 - \ln 2$ 对 $x \geq 0$ 恒成立，试求 $a$ 的取值范围

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