上海市崇明区2020届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若矩阵 $(\begin{matrix} a & - 1 \\ 2 & b \end{matrix})$ 是线性方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 3 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ 的系数矩阵，则（）

A、 $a = 1, b = - 1$ B、 $a = 1, b = 1$ C、 $a = - 1, b = 1$ D、 $a = - 1, b = - 1$

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2. 若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点F与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的一个焦点重合，则n的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、13

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3. 设 ${a_{n}}$ 是各项为正数的无穷数列， $A_{i}$ 是边长为 $a_{i}, a_{i + 1}$ 的矩形的周长 $(i = 1, 2, \dots)$ ，则“数列 ${A_{n}}$ 为等差数列”的充要条件是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{2 n - 1}, \dots$ 或 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ 是等差数列 C、 $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{2 n - 1}, \dots$ 和 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ 都是等差数列 D、 $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{2 n - 1}, \dots$ 和 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ 都是等差数列，且公差相同

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4. 已知函数 $f (x) = m \cdot 2^{x} + x^{2} + n x$ ，记集合 $A = {x | f (x) = 0, x \in R}$ ，集合 $B = {x | f [f (x)] = 0, x \in R}$ ，若 $A = B$ ，且都不是空集，则 $m + n$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 4)$ B、 $[- 1, 4)$ C、 $[- 3, 5]$ D、 $[0, 7)$

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二、填空题

5. 行列式 $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |$ 的值等于

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6. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ .

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7. 已知复数z满足 $\frac{| \sqrt{3} + i | + i}{z} = i$ ，i为虚数单位，则z=

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 1$ ，其反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (3) =$

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9. 已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于

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10. ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 项的系数是（用数字作答）

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11. 若 $\sin (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是无穷等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{3} = 3, a_{3} + a_{4} = \frac{3}{2}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$

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13. 将函数 $f (x) = \sin x$ 的图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图像，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的任意 $x_{1}, x_{2}$ ， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$ ，则 $φ$ 的最小值是.

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14. 已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (\sqrt{3} \cos x ， \cos x) ， \vec{A C} = (\cos x ， \sin x)$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是

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16. 对于函数 $f (x)$ ，其定义域为D，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“不严格单调增函数”，若函数 $f (x)$ 定义域为 $D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，值域为 $A = {7, 8, 9}$ ，则函数 $f (x)$ 是“不严格单调增函数”的概率是

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三、解答题

17. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；

(2)、求点C到平面 $A_{1} B E$ 的距离.

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}} (a > 0)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

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19. 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.

(1)、如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；

(2)、围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）

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20. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为F，直线 $x = t (t \in (- \sqrt{2}, \sqrt{2}))$ 与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.

(1)、当 $t = - 1$ 时，求线段AF的长；

(2)、求证：点P在椭圆 $Γ$ 上；

(3)、求证： $S_{△ P A C} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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21. 在无穷数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 是偶数 \\ a_{n} + 3, & a_{n} 是奇数 \end{array}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a_{1} = 10$ ，求 $S_{9}$ 的值；

(2)、若 $S_{3} = 17$ ，求 $a_{1}$ 的值；

(3)、证明： ${a_{n}}$ 中必有一项为1或3.

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