内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区2020届高三理数第一次统考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x = 2^{a}, a \in A}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${0, 1, 2, 4}$ D、 ${1, 2, 4}$

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2. 复数 $\frac{1 + 2 i}{2 - i} =$ （）．

A、i B、 $1 + i$ C、-i D、 $1 - i$

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{B D} = \overset{⇀}{D C}, \overset{⇀}{A P} = 2 \overset{⇀}{P D}, \overset{⇀}{B P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）

A、60种 B、70种 C、75种 D、150种

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5. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若 $| A F | = 3$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} > 0$ ， $q > 1$ ， $a_{3} + a_{5} = 20$ ， $a_{2} a_{6} = 64$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、 $48$ B、 $36$ C、 $42$ D、 $31$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 $m_{2} - m_{1} = \frac{5}{2} lg \frac{E_{1}}{E_{2}}$ ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A、10^10.1 B、10.1 C、lg10.1 D、10–^10.1

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9. 把函数 $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{4} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{12} ， 0)$ D、 $(0 ， 0)$

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10. 在棱长均相等的正三棱柱 $A B C = A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 在 $A C_{1}$ 上，且 $D F ⊥ A C_{1}$ ，则下述结论：① $A C_{1} ⊥ B C$ ；② $A F = F C_{1}$ ；③平面 $D A C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ：④异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D$ 所成角为 $60 °$ 其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），以点 $P$ （ $b, 0$ ）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 $∠ M P N = 90 °$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{f (x + 1)} - 1 ， - 1 < x < 0 \\ \frac{x}{2} ， 0 \leq x < 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - 2 a x = a - 1$ 有唯一解，则实数a的取值范围是（）

A、 ${- 8} \cup (1 ， + \infty)$ B、 ${- 16} \cup (\frac{1}{2} ， 1] \cup (2 ， + \infty)$ C、 ${- 8} \cup [\frac{1}{2} ， 1] \cup (2 ， + \infty)$ D、 ${- 32} \cup [1 ， 2] \cup (4 ， + \infty)$

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二、填空题

13. (x＋y)(2x－y)⁵的展开式中x³y³的系数为.

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14. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 10 \\ x - y \leq 2 \\ x \geq 4 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值为.

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15. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中的坐标分别是 $A (0, 0, \sqrt{5})$ ， $B (\sqrt{3}, 0, 0)$ ， $C (0, 1, 0)$ ， $D (\sqrt{3}, 1, \sqrt{5})$ ，则该四面体的外接球的体积为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ， $3 S_{n} = (n + m) a_{n} (n \in N^{*}, m \in R)$ ，且 $a_{n} b_{n} = n + 1$ .若任意 $n \in N^{*}$ ， $λ \leq T_{2 n} - T_{n}$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 2$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $\cos C = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设 $M$ 为 $B C$ 中点，求 $A M$ 的长.

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18. 万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：

附表及公式：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

(1)、若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全

2 \times 2

列联表；并判断能否有

90 %

的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；

(2)、在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为

ξ

，求的

ξ

分布列与数学期望.

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19. 在如图所示的四棱锥 $F - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $F C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C ⊥ B F$ ， $C B = C D = 1$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、已知二面角 $F - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $A F$ 与平面 $D F B$ 所成角的正弦值.

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20. 已知点 $M (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，直线 $l : x_{0} x + 2 y_{0} y = 2$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 6$ 交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点.

(1)、求证：直线l与椭圆C相切；

(2)、判断 $∠ A F B$ 是否为定值，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{4 - x}{x} + (2 - a) (x - 1)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时.
①求函数 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

②定义 $S_{n} = f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + \dots + f (\frac{4 n - 1}{n})$ 其中 $n \in N^{*}$ ，求 $S_{2020}$ ；

(2)、当 $a \neq 2$ 时，设 $t (x) = f (x) - \ln (4 x - x^{2})$ ， $g (x) = x e^{1 - x}$ ( $e$ 为自然对数的底数)，若对任意给定的 $x_{0} \in (0 ， e]$ ，在 $(0 ， e]$ 上总存在两个不同的 $x_{i} (i = 1 ， 2)$ ，使得 $t (x_{i}) = g (x_{0})$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s φ \\ y = s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+ $\frac{π}{3}$ ）=3 $\sqrt{3}$ ，射线OM：θ= $\frac{π}{3}$ 与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + f (x + 4) \geq 8$ ；

(2)、若 $| a | < 1$ ， $| b | < 1$ ， $a \neq 0$ ，求证： $f (a b) > | a | f (\frac{b}{a})$ .

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