内蒙古呼和浩特市2020届高三理数第一次质量普查调研考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | 0 ⩽ x ⩽ 3}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${x | 0 ⩽ x ⩽ 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$

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2. 若复数 $z = \cos α + i \sin α$ ，则当 $\frac{π}{2} < α < π$ 时，复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）

A、回答该问卷的总人数不可能是100个 B、回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C、回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D、回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个

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4. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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5. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = - 2 a_{n} + 1$ ，则 $S_{6}$ 的值为（）

A、 $\frac{665}{729}$ B、 $\frac{486}{665}$ C、 $\frac{665}{243}$ D、 $\frac{65}{9}$

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6. 如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x - 2 \sin^{2} x + 1$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；②函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 上是减函数；③函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{8}$ 对称；④函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、①③④

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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知 $x \in [150, 300]$ 且 $x$ 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x的取值的和为（）

A、2020 B、2305 C、4610 D、4675

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9. 已知 $0 < a < b < 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{\ln a} > \frac{b}{\ln b}$ B、 $\frac{\ln a}{\ln b} < 1$ C、 $a \ln a < b \ln b$ D、 $a^{a} > b^{b}$

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10. 设 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 向 $C$ 的一条渐近线引垂线，垂足为 $A$ ，交另一条渐近线于点 $B$ ，若 $2 \vec{A F} = \vec{F B}$ ，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 表面积为 $60 π$ 的球面上有四点 $S ， A ， B ， C$ ，且 $△ A B C$ 是等边三角形，球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，若平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $3 + 3 \sqrt{5}$ B、18 C、27 D、 $9 + 9 \sqrt{5}$

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 0 \\ e^{x}, x > 0 \end{array}$ 若 $f^{2} (x) + (1 - a) f (x) - a = 0$ 恰有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 2 \ln 2 - 2]$ C、 $(- \infty, 2 - 2 \ln 2]$ D、 $(- \infty, 2 \ln 2 - 2]$

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二、填空题

13. ${(2 x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - 2 \cos x - \sin x$ ，则 $f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, - 1)$ 处的切线方程为.

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15. 若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为．

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三、双空题

16. 已知抛物线方程 $y^{2} = 4 x$ ，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段 $P F$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| P F |}{| F Q |}$ .已知点 $P (- 1 ， 4 \sqrt{2})$ ，则 $d (P) =$ ；设点 $P (- 1 ， t) (t > 0)$ ，则 $2 d (P) - | P F |$ 的值为.

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四、解答题

17. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点， $A B = 2 A C$ ， $\cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、若 $B D = A D$ ，求 $\frac{A D}{A C}$ 的值；

(2)、若 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $B C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 在 $D C$ 边上，且 $D E = 1$ ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折到 $△ A D^{'} E$ 的位置，使得平面 $A D^{'} E ⊥$ 平面 $A B C E$ .
（Ⅰ）求证： $A E ⊥ B D^{'}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $D^{'} - A B - E$ 的余弦值.

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19. 检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对 $n (n \in N *)$ 份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验 $n$ 次；②混合检验，即将其中 $k$ （ $k \in N^{*}$ 且 $k ⩾ 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 $k$ 份的血液全为阴性，因而这 $k$ 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份血液究竟哪几份为阳性，再对这 $k$ 份再逐份检验，此时这 $k$ 份血液的检验次数总共为 $k + 1$ 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

(2)、现取其中 $k$ （ $k \in N *$ 且 $k ⩾ 2$ ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 $ξ_{1}$ ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 $ξ_{2}$ .当 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ 时，根据 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 的期望值大小，讨论当 $k$ 取何值时，采用逐份检验方式好？
（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$ ， $\ln 5 \approx 1.61$ ， $e \approx 2.72$ ， $e^{2} \approx 7.39$ ， $e^{3} \approx 20.09$ .）

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点， $Δ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点 $A (4, 0)$ 作关于 $x$ 轴对称的两条不同直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交椭圆于 $M (x_{1}, y_{1})$ 与 $N (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明直线 $M N$ 过定点，并求 $Δ A M N$ 的面积S的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - a) \ln (a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的零点是 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、设曲线 $y = f (x)$ 在零点处的切线斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，判断 $k_{1} + k_{2}$ 的单调性；

(2)、设 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + x_{2} > 2 x_{0}$ .

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22. 已知椭圆 $C_{1}$ 的普通方程为： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A B C D$ 逆时针依次排列，点 $A$ 的极坐标为 $(4 ， \frac{π}{6})$

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的参数方程，及点 $B ， C ， D$ 的直角坐标；

(2)、设 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上的任意一点，求： $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2} + | P D |^{2}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + 2 | x + 1 |$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、已知 $g (x) = | x - 1 | + 2$ ，若对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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