内蒙古鄂尔多斯市2020届高考理数模拟考试试卷（4月)

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 3) (x - 1) < 0}$ ， $B = {x | x > - \frac{1}{2}}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - \frac{1}{2} < x < 1}$ B、 ${x | x > - 3}$ C、 ${x | - 3 < x < - \frac{1}{2}}$ D、 ${x | x > - \frac{1}{2}}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z = (2 + i) (1 - i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 λ ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、1 D、2

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4. 已知 $m ， n$ 是两条不重合的直线， $α ， β$ 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ α$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）

A、深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B、天津的往返机票平均价格变化最大 C、上海和广州的往返机票平均价格基本相当 D、相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加

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6. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = - 3$ ， $S_{7} = - 7$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、-12 B、-15 C、-16 D、-18

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7. 下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ 、直角边 $A B 、 A C$ ，已知以直角边 $A C 、 A B$ 为直径的半圆的面积之比为 $\frac{1}{4}$ ，记 $∠ A B C = α$ ，则 $\cos^{2} α + \sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、1 D、 $\frac{8}{5}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为l，A是l上一点，B是直线 $A F$ 与抛物线C的一个交点，若 $\vec{F A} = 3 \vec{F B}$ ，则 $| B F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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9. 在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）

A、0.2 B、0.5 C、0.4 D、0.8

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10. 函数 $y = \frac{1}{x - \ln | x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为2c，过左焦点 $F_{1}$ 作斜率为1的直线交双曲线 $C$ 的右支于点P，若线段 $P F_{1}$ 的中点在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 + \log_{\frac{1}{2}} x ， \frac{1}{8} \leq x < 1 \\ 2^{x} ， 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b) (a < b)$ ，则 $a b$ 的最小值为（）
参考数据： $\ln 2 \approx 0.69 ， \ln^{2} 2 \approx 0.48$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\log_{2} \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 某种牛肉干每袋的质量 $m (k g)$ 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (1.9 ⩽ m ⩽ 2.1) = 0.98$ .某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于 $1.9 k g$ 的袋数大约是袋.

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14. 已知函数 $f (x) = \cos x - \log_{2} (2^{x} + 1) + a x (a \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ .

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15. 已知 $A 、 B 、 C 、 P$ 是同一球面上的四个点，其中 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是正三角形， $P A = A B = 3$ ，则该球的表面积为.

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三、双空题

16. 设函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x}}$ ，点 $A_{n} (n ， f (n)) (n \in N^{*})$ ， $A_{0}$ 为坐标原点，向量 $\vec{a_{n}} = \vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + \dots + \vec{A_{n - 1} A_{n}}$ ，设 $\vec{i} = (1 ， 0)$ ，且 $θ_{n}$ 是 $\vec{a_{n}}$ 与 $\vec{i}$ 的夹角，记 $S_{n}$ 为数列 ${\tan θ_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\tan θ_{3} =$ ； $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. 交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过

90 k m / h

的有30人，不超过

90 k m / h

的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过

90 k m / h

的有5人，不超过

90 k m / h

的有15人.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$

临界值表：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成下面的

2 \times 2

列联表，并据此判断是否有

99.9 %

的把握认为，家庭轿车平均车速超过

90 k m / h

与驾驶员的性别有关；

	平均车速超过 $90 k m / h$ 的人数	平均车速不超过 $90 k m / h$ 的人数	合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计

(2)、根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过

90 k m / h

的人数为

ξ

，假定抽取的结果相互独立，求

ξ

的分布列和数学期望.

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 b \cos B = a \cos C + c \cos A$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围.

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19. 已知六面体 $A B C D E F$ 如图所示， $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B E // A F$ ， $A D // B C$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{5}$ ， $A B = A F = A D = 2$ ， $M$ 是棱 $F D$ 上的点，且满足 $\frac{F M}{M D} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证：直线 $B F //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、求二面角 $A - M C - D$ 的正弦值.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，长为3的线段的两端点 $A 、 B$ 分别在x轴、y轴上滑动，点P为线段 $A B$ 上的点，且满足 $| A P | = 2 | P B |$ .记点P的轨迹为曲线E.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、若点 $M 、 N$ 为曲线 $E$ 上的两个动点，记 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = m$ ，判断是否存在常数 $m$ 使得点 $O$ 到直线 $M N$ 的距离为定值？若存在，求出常数 $m$ 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} \sin x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ，对 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，恒有 $f (x) ⩽ b x$ 成立，求实数 $b$ 的最小值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ + ρ \sin θ + 4 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 在曲线 $C_{1}$ 上，点 $Q$ 在曲线 $C_{2}$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 1 |$

(1)、解不等式 $f (x) \geq 3$ ；

(2)、若 $a 、 b 、 c$ 均为正实数，且满足 $a + b + c = m$ ， $m$ 为 $f (x)$ 的最小值，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq \frac{3}{2}$ .

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