内蒙古赤峰市2020届高三下学期理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}, B = {y | y = 1 - \sin x, x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 3, 1)$ B、 $[0, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(- 3, 2)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z - \bar{z} = 0$ ，且 $z \cdot \bar{z} = 9$ ，则 $z =$ （）

A、3 B、3i C、 $\pm 3$ D、 $\pm 3 i$

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3. 某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m³)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m³的住户的户数为（）

A、10 B、50 C、60 D、140

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} < 0$ ”是“ $S_{2021} < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知 $a = 2^{\frac{1}{2}}, b = 5^{\frac{1}{5}}, c = \log_{3} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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7. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 0 \leq 2 x + y \leq 6 \\ 3 \leq x - y \leq 6 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、10 B、8 C、5 D、3

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8. 关于函数 $f (x) = \sin | x | + | \cos x |$ 有下述四个结论：（）
① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 上是单调递增函数；③ $f (x)$ 在 $R$ 上的最大值为2；④ $f (x)$ 在区间 $[- 2 π ， 2 π]$ 上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、①③ C、①④ D、②④

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9. 已知等边△ABC内接于圆 $τ$ ：x²+ y²=1，且P是圆τ上一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 9} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，直线 $l_{1} : m x + y + 3 m = 0$ 与直线 $l_{2} : x - m y - 3 = 0$ 相交于点P，且P点在椭圆内恒成立，则椭圆C的离心率取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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11. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $A B = 4 ， A A_{1} = 8$ .若 $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1} ， C C$ 上的点，且 $B E = B_{1} E$ ， $C_{1} F = \frac{1}{4} C C_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{10}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $(1 - x) \cdot f (x) + x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，若 $y = f (x + 2) - e^{3}$ 是奇函数，则不等式 $x \cdot f (x) - 2 e^{x + 1} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{b} | = 2 | \overset{⇀}{a} |$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $\cos B = \frac{4}{5}, \cos C = \frac{12}{13}$ ， $b = 1$ ，则 $a =$ .

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15. 验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 $O C R$ ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为.

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三、双空题

16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且有 $B D ⊥ C D ， A B = B D = 2 ， C D = 1$ ，则此鳖臑的外接球 $O$ （ $A 、 B 、 C 、 D$ 均在球 $O$ 表面上）的直径为；过 $B D$ 的平面截球 $O$ 所得截面面积的最小值为.

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四、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ⊥ A D ， ∠ A D C = 45 ° ， A D$ ∥ $B C ， A D = 2 A B = 2$ ， $△ A D P$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P C E$ ；

(2)、点F在线段 $C D$ 上，且 $\frac{C F}{F D} = \frac{3}{2}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B F$ 所成的锐二面角的余弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2, b_{1} = - 1, a_{n} = 2 a_{n - 1} - b_{n - 1}, b_{n} = 2 b_{n - 1} - a_{n - 1}, n \in N *, n \geq 2$ .

(1)、求证:数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${\frac{3^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.

附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

(1)、填写下面列联表，并根据联表判断是否有

95 %

的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

	男生	女生	总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计

(2)、为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记

ξ

为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望

E (ξ)

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20. 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F (0 ， c) ， (c > 0)$ 关于直线 $l ： x - y - 2 = 0$ 的对称点为M，且 $| F M | = 3 \sqrt{2}$ .若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切线 $P A ， P B$ ，其中 $A ， B$ 为切点.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求 $△ P A B$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ .

(1)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间，并证明函数 $g (x)$ 有唯一零点.

(2)、若函数 $h (x) = e^{x} - a f (x - 1)$ 在区间 $(1 ， 1 + e^{- a})$ 上不单调，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{a + 1} > a$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + 2 t \\ y = - t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{3 + \sin^{2} θ}$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线C与l的交点坐标；

(2)、过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且 $| P A |$ 的最大值为 $\sqrt{10}$ ，求a的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最大值为 $s$ ，若 $a + b + c = s (a, b, c > 0)$ ，证明： $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \geq 3 a b c$ .

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