内蒙古包头市2020届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}, B = {x | 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[- 1, 2)$

查看试题解析
2. 已知i是虚数单位，若 $\frac{z}{1 - i} = 2 i + 1$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、10

查看试题解析
3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 5, S_{9} = 81$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、23 B、25 C、28 D、29

查看试题解析
4. 曲线 $y = (a x + 2) e^{x}$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ，则 $a b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、4 D、8

查看试题解析
5. 当 $a > 0$ 时，函数 $f (x) = (x^{2} - a x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知定点 $A, B$ 都在平面 $α$ 内，定点 $P \notin α, P B ⊥ α, C$ 是 $α$ 内异于 $A, B$ 的动点，且 $P C ⊥ A C$ ，那么动点C在平面 $α$ 内的轨迹是（）

A、圆，但要去掉两个点 B、椭圆，但要去掉两个点 C、双曲线，但要去掉两个点 D、抛物线，但要去掉两个点

查看试题解析
7. 小张家订了一份报纸，送报人可能在早上 $6 ： 30 - 7 ： 30$ 之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上 $7.00 - 8 ： 00$ 之间.用 $A$ 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x，小张离开家的时间为y， $(x ， y)$ 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率 $P (A)$ 等于（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，且 $| \vec{A B} | = 1, | \vec{A C} | = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则 $| \vec{E B} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{19}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

查看试题解析
9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 $3.14$ ，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的 $n$ 值为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， sin 15^{0} \approx 0.2588 ， sin 75^{0} \approx 0.9659$ ）

A、48 B、36 C、24 D、12

查看试题解析
10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $A ， B$ 是C的左、右顶点，点P在过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上， $△ P A B$ 为等腰三角形， $∠ A B P = 120 °$ ，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

查看试题解析
11. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个内切球O，过正方体中两条异面直线 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点 $P ， Q$ 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

查看试题解析
12. 设 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 单调递增， $a = \log_{0.2} 0.3, b = \log_{2} 0.3$ ，则（）

A、 $f (a + b) > f (a b) > f (0)$ B、 $f (a + b) > f (0) > f (a b)$ C、 $f (a b) > f (a + b) > f (0)$ D、 $f (a b) > f (0) > f (a + b)$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知多项式 ${(1 + a x)}^{5} {(1 - 2 x)}^{4}$ 的各项系数之和为32，则展开式中含x项的系数为．

查看试题解析
14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为A,B，若 $| A F | + | B F |$ =5，则直线l的方程为．

查看试题解析
15. 若函数 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$ 在 $[0 ， \frac{m}{2}]$ 和 $[3 m ， π]$ 上均单调递增，则实数m的取值范围为．

查看试题解析

三、双空题

16. 分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则

(1)、 $a_{4} =$ ；

(2)、 $2 a_{n} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{A}{2} + sin A - \sqrt{3} = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $Δ A B C$ 外接圆半径 $R = \sqrt{3} ， A C = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

查看试题解析
18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是菱形，其对角线的交点为O，且 $A B = A C_{1} = \sqrt{6} ， A B ⊥ B_{1} C$ ．

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，若直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$ ，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - B$ 的正弦值．

查看试题解析
19. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：

(1)、由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；

(2)、其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；

(3)、用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ ．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{1}$ ，过点 $F_{1}$ 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\sqrt{2}$ ，且 $F_{1}$ 与短轴两端点的连线相互垂直.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上存在两点M，N，椭圆 $C$ 上存在两个点 $P, Q$ 满足： $M, N, F_{1}$ 三点共线， $P, Q, F_{1}$ 三点共线，且 $\vec{P Q} \cdot \vec{M N} = 0$ ，求四边形 $P M Q N$ 面积的取值范围.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \ln (a x) - a ， (a > 0)$ ．

(1)、若函数 $h (x) = e^{x} f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的值；

(2)、定义：若直线 $l ： y = k x + b$ 与曲线 $C_{1} ： f_{1} (x ， y) = 0 、 C_{2} ： f_{2} (x ， y) = 0$ 都相切，我们称直线 $l$ 为曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的公切线，证明：曲线 $f (x) = \ln (a x) - a ， (a > 0)$ 与 $g (x) = a e^{x} ， (a > 0)$ 总存在公切线．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ ： $ρ {cos}^{2} θ = 4 a sin θ (a > 0)$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.直线 $l$ 与曲线C交于M，N两点．
（I）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；

（II）设 $P (- 2, - 1)$ ，若 $| P M |$ ， $| M N |$ ， $| P N |$ 成等比数列，求a的值．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - 2 a + 3 |, g (x) = x^{2} + a x + 3$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、若对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得不等式 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析