吉林省延边州2020届高三下学期理数4月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $I = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ ，集合 $A = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $B = {5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${3 ， 4 ， 7 ， 8}$ B、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ C、 ${1 ， 2 ， 9}$ D、 ${5 ， 6}$

查看试题解析
2. 复数 $\frac{1}{1 + i} + {(1 - i)}^{2}$ 的实部为a，虚部为b，则 $a + b =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, y)$ ， $\vec{c} = (4, 2)$ ，满足 $\vec{a} // \vec{c}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $y^{x} =$ （）

A、-81 B、-9 C、9 D、81

查看试题解析
4. 《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲､乙､丙､丁､戊五人分10钱，甲､乙两人所得与丙､丁､戊三人所得相同，且甲､乙､丙､丁､戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）

A、 $\frac{4}{3}$ 钱 B、 $\frac{7}{3}$ 钱 C、 $\frac{8}{3}$ 钱 D、 $\frac{10}{3}$ 钱

查看试题解析
5. 要得到 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度

查看试题解析
6. 命题“对 $\forall x \in [1, 2]$ ， $a x^{2} - x + a > 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq \frac{1}{2}$ B、 $a > \frac{1}{2}$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \geq \frac{1}{3}$

查看试题解析
7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E､F､G分别为棱 $A_{1} D_{1}$ 、 $A_{1} A$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点，给出下列四个结论：① $E F ⊥ B_{1} C$ ；② $B C_{1} //$ 平面 $E F G$ ；③异面直线 $F G$ ， $B_{1} C$ 所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ ；④ $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G$ ．其中所有正确结论的序号为（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②④

查看试题解析
8. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ ，若直线 $y = k x - 4$ 上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）

A、 $k \leq - \frac{4}{3}$ 或 $k \geq 0$ B、 $k \leq - \frac{3}{4}$ C、 $k \leq - \frac{3}{4}$ 或 $k \geq 1$ D、 $k \geq 1$

查看试题解析
9. 2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 ${3, 5}$ ， ${5, 7}$ ， ${11, 13}$ ， ${17, 19}$ ， ${29, 31}$ ， ${41, 43}$ ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(a > 0, b > 0)$ 的两个焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为边作正三角形 $M F_{1} F_{2}$ ，若边 $M F_{1}$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

查看试题解析
11. 三棱锥 $P - A B C$ 内接于半径为2的球中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | {log}_{2} (x - 1) | 1 < x \leq 3 \\ x^{2} - 8 x + 16 ， x > 3 \end{matrix}$ 若方程f（x）=m有4个不同的实根x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，则（ $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ）（x₃+x₄）=（）

A、6 B、7 C、8 D、9

查看试题解析

二、填空题

13. 在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 的项的系数是

查看试题解析
14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} + a_{7} = 4 (a_{1} + a_{3})$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{2}} =$

查看试题解析
15. 若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足：存在实数 $t$ ，使得 $f^{'} (t) = g^{'} (t)$ ，则称函数 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“友导”函数．已知函数 $g (x) = \frac{1}{2} k x^{2} - x + 3$ 为函数 $f (x) = x^{2} \ln x + x$ 的“友导”函数，则k的取值范围是

查看试题解析
16. 数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上存在到原点的距离超过 $\sqrt{2}$ 的点；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有错误结论的序号是．

查看试题解析

三、解答题

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin B \cos B + b \cos A \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ．

(1)、若 $2 a = 3 c = 6$ ，求边 $b$ 的大小；

(2)、若 $\cos A \cos C = \frac{1}{4}$ 且 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 已知 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{6}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ，E分别是AC， $A B$ 的中点，将 $Δ A B C$ 沿 $D E$ 翻折，得到如图所示的四棱锥 $P - B C D E$ ，且 $∠ P E B = 120 °$ ，设F为 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥ D F$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的的正弦值．

查看试题解析

19. 某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在

[85 ， 105]

的频率为0.66．

附： $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求a，b的值；

(2)、已知本次产蛋量近似服从

X ~ N (μ ， σ^{2})

（其中

μ

近似为样本平均数，

σ^{2}

似为样本方差）．若本村约有10000只麻鸭，试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值）．

(3)、若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的

2 \times 2

列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．

	良种	次种	总计
旱养培育		160	260
水养培育	60
总计		340	500

查看试题解析

20. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} + x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、对任意的 $x \in (\frac{1}{2} ， + \infty)$ ， $x f (x) < e^{x} + x^{2}$ 恒成立，请求出a的取值范围．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{10})$ 的右焦点 $F$ 在圆 $D : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上，直线 $l : x = m y + 3 (m \neq 0)$ 交椭圆于M，N两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ （ $O$ 为坐标原点），求m的值；

(3)、设点N关于x轴对称点为 $N_{1}$ （ $N_{1}$ 与点 $M$ 不重合），且直线 $N_{1} M$ 与x轴交于点P，试问 $△ P M N$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} - t \\ y = 1 + \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $l : θ = α (ρ > 0)$ 分别交 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于A，B两点，求 $\frac{| O A |}{O B}$ 的最大值．

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 3 | + | x - 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) > 4$ ；

(2)、若存在 $x_{0} \in [- \frac{3}{2}, 1]$ 使不等式 $| a + 1 | > f (x_{0})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析