广西柳州市2020届高三文数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} = x}$ ， $N = {x | \lg x \leq 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）．

A、 $[0, 1]$ B、 ${0, 1}$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, 1]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 为虚数为单位，则 $z$ =（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先了解到该地区老中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）．

A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按年龄段分层抽样 D、系统抽样

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4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）．

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $12 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$

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5. 已知 $a > 0, b > 0$ ，并且 $\frac{1}{a}, \frac{1}{2}, \frac{1}{b}$ 成等差数列，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、9

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6. 函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值10，则点 $(a ， b)$ 为（）

A、 $(3 ， - 3)$ B、 $(- 4 ， 11)$ C、 $(3 ， - 3)$ 或 $(- 4 ， 11)$ D、不存在

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7. 设 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 是三条不同的直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若 $l // α$ ， $l \subset β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊄ α$ ， $m / / n$ ，则 $l // n$ ；②若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ ；③若 $m$ ， $n$ 是两条异面直线， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $n \subset α$ ， $m \subset β$ 且 $α // β$ ，则 $l ⊥ α$ ；④若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $n \subset β$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ .
其中正确命题的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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8. 某种产品的广告费支出 $x$ 与销售额 $y$ 之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 17.5$ ，则表中a的值为（）

x

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

y

$30$

$40$

$57$

$a$

$69$

A、50 B、54 C、56.5 D、64

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9. 执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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10. 设函数，则f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ）+cos（2x+ $\frac{π}{4}$ ），则（）

A、y=f（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递增，其图象关于直线x= $\frac{π}{4}$ 对称 B、y=f（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递增，其图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称 C、y=f（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递减，其图象关于直线x= $\frac{π}{4}$ 对称 D、y=f（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递减，其图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称

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11. 若定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则函数 $h (x) = f (x) - \log_{5} | x |$ 的零点个数是（）．

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

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12. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，抛物线 $C : y^{2} = 8 a x$ 的焦点为 $F$ ，若在 $E$ 的渐近线上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P A} ⊥ \vec{F P}$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）．

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, \frac{3 \sqrt{2}}{4}]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4}, + \infty)$

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二、填空题

13. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α$ =

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14. 一船以每小时 $15 km$ 的速度向东航行，船在 $A$ 处看到一个灯塔 $B$ 在北偏东 $60 °$ ，行驶 $4 h$ 后，船到达 $C$ 处，看到这个灯塔在北偏东 $15^{\circ}$ ，这时船与灯塔的距离为 $km$

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15. 已知圆C经过 $A (5, 1), B (1, 3)$ 两点，圆心在 $x$ 轴上，则C的方程为．

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16. 在等腰梯形ABCD中,已知 $A B ∥ D C$ , $A B = 2, B C = 1, ∠ A B C = 60^{\circ},$ 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}, \vec{D F} = \frac{1}{6} \vec{D C},$ 则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为．

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三、解答题

17. 设正项等比数列 ${a_{n}}, a_{4} = 81,$ 且 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项为 $\frac{3}{2} (a_{1} + a_{2})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{_{n}} = \log_{3} a_{2 n - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项为 $S_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ ．

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18. 目前，青蒿素作为一线抗疟药品得到大力推广某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：

编号位置	①	②	③	④
山上	5.0	3.8 $3.8$	3.6	3.6
山下	3.6	4.4 $4.4$	4.4	3.6

(1)、根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；

(2)、记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为

S_{1}^{2}

，

S_{2}^{2}

，根据样本数据，试估计

S_{1}^{2}

与

S_{2}^{2}

的大小关系（只需写出结论）；

(3)、从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取

1

株，记这

2

株的产量总和为

n

，求

n > 8

的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / D C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = S D$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A B$ ，侧面 $S A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、求证：平面 $S B D ⊥$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $∠ S D A = 120 °$ ，且三棱锥 $S - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ ，求侧面 $Δ S A B$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} ， a \in R$ .
(I)当a=2时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3 ， f (3))$ 处的切线方程；

(II)设函数 $g (x) = f (x) + (x - a) \cos x - \sin x$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

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21. 已知圆 $E$ ： $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ 经过椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，且与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为A，且 $F_{1} ， E ， A$ 三点共线，直线l交椭圆C于M， N两点，且 $\vec{M N} = λ \vec{O A}$ （ $λ \neq 0$ ）.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、当三角形 $A M N$ 的面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2} : {\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos φ \\ y = 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、射线l的极坐标方程为 $θ = α (ρ \geq 0)$ ，若l分别与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于异于极点的 $A$ ， $B$ 两点，求 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - 2 |$ ，不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集为M.

(1)、求M；

(2)、记集合 $M$ 的最大元素为 $m$ ，若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正实数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ .求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ .

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x	$2$	$4$	$5$	$6$	$8$
y	$30$	$40$	$57$	$a$	$69$