广东省汕头市2020届高三理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x| $\frac{x}{2 - x} \geq$ 0}，则A∩B＝（）

A、{x|2≤x≤4} B、{x|2＜x≤4} C、{x|1≤x≤2} D、{x|1≤x＜2}

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2. 下列各式的运算结果虚部为1的是（）

A、 $i (i - 1)$ B、 $\frac{2}{1 + i}$ C、 $2 + i^{2}$ D、 ${(1 + i)}^{2} - i$

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3. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ x - y - 3 \leq 0 \\ 3 x + y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则y﹣2x的最大值是（）

A、9 B、12 C、3 D、6

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4. 近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）

①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平

A、①②③ B、②③ C、①② D、③

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5. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则不等式f（log₂x）＞0的解集为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，4） B、（2，2） C、（ $\frac{1}{4}$ ，+∞） D、（4，+∞）

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6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0)$ 的图象与直线 $y = a (0 < a < A)$ 的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则 $f (x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[6 k π ， 6 k π + 3]$ ， $k \in Z$ B、 $[6 k π - 3 ， 6 k π]$ ， $k \in Z$ C、 $[6 k ， 6 k + 3]$ ， $k \in Z$ D、 $[6 k - 3 ， 6 k]$ ， $k \in Z$

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7. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）

A、 $1.8975 \times 10^{6}$ 立方尺 B、 $3.7950 \times 10^{6}$ 立方尺 C、 $2.5300 \times 10^{5}$ 立方尺 D、 $1.8975 \times 10^{5}$ 立方尺

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8. 已知四边形ABCD为平行四边形， $| \vec{A B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A D} | = \sqrt{3}$ ，M为CD中点， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A N} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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9. △ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{3}$

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10. 在（x²﹣x﹣2）⁵的展开式中，x³的系数为（）

A、﹣40 B、160 C、120 D、200

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11. 体积为 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ 的三棱锥A﹣BCD中，BC＝AC＝BD＝AD＝3，CD＝2 $\sqrt{5}$ ，AB＜2 $\sqrt{2}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、20π B、 $\frac{61}{3}$ π C、 $\frac{61}{12}$ π D、 $\frac{49}{12}$ π

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12. 若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），其坐标满足条件：|x₁x₂+y₁y₂| $- \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$ 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：
①f（x）＝x $+ \frac{1}{x}$ （x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；③f（x）＝cosx；④f（x）＝x²﹣1.其中为“柯西函数”的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 曲线f（x）＝x²e^﹣x在点（1，f（1））处的切线方程为.

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是.

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15. “新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为.

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16. 直线l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和抛物线C：y²＝4x相交于不同两点A、B，设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足|MN| $= 3 \sqrt{3}$ |NF|，则直线l的方程为.

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三、解答题

17. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n+2＝2a_n ， n∈N*.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n $= \frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，设数列{b_n}的前项和为T_n ，若T_n $> \frac{2019}{2020}$ ，求n的最小值.

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18. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA $= \frac{1}{2}$ AB．

(1)、证明：BC⊥PA；

(2)、若PA＝PC＝AC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

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19. 为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值 $μ = 65$ ，标准差 $σ = 2.2$ ，以频率值作为概率的估计值.

（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（ $P$ 表示相应事件的概率）：

① $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) ⩾ 0.6826$ ；

② $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) ⩾ 0.9544$ ；

③ $P (μ - 3 σ < X ⩽ μ + 3 σ) ⩾ 0.9974$ .

判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备 $M$ 的性能等级.

（Ⅱ）将直径尺寸在 $(μ - 2 σ \cdot μ + 2 σ)$ 之外的零件认定为是“次品”.

①从设备 $M$ 的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ ；

②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数Z的数学期望 $E (Z)$ .

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20. 已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），以坐标原点O为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y $+ \sqrt{6} =$ 0的相切.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、经过点F的直线l₁ ， l₂分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l₁⊥l₂ ，探究：是否存在常数λ，使 $| A B | + | C D | = λ | A B | \cdot | C D |$ 恒成立.

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21. 已知函数f（x） $= \frac{1}{2}$ x²+ax+lnx（a∈R）

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若f（x）存在两个极值点x₁ ， x₂且|x₁﹣x₂| $\leq \frac{3}{2}$ ，求|f（x₁）﹣f（x₂）|的最大值.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 3 + 3 \cos α \\ y = 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数，已知直线 $l_{1} : x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线 $l_{2} : \sqrt{3} x - y = 0$ 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求曲线C以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线C分别交于O、A两点，直线 $l_{2}$ 与曲线C分别交于O、B两点，求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 设函数 $f (x) = | x + a |$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求不等式 $\frac{1}{4} \leq f (x) < \frac{1}{3}$ 的解集；

(2)、若 $ε > 0$ ， $f (- x) < \frac{ε}{3}$ ， $f (b - a - 2) < \frac{ε}{3}$ ，证明 $| 2 a + b - 4 | < ε$ ．

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