广东省江门市2020届高三下学期理数4月模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i是虚数单位，复数z满足 $z (3 + 4 i) = 1 + i$ ，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若函数f(x)是幂函数，且满足 $\frac{f (4)}{f (2)} = 3$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、－3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知直线 $l_{1} : (m - 4) x + 4 y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : (m + 4) x + (m + 1) y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数m的值为（）

A、1或 $- 3$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{3}$ C、2或 $- 6$ D、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$

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4. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据： $\frac{\sqrt{3}}{0.8269} \approx 2.0946$ ）

A、3.1419 B、3.1417 C、3.1415 D、3.1413

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5. 已知命题p： $\forall x \in R ， x^{2} + x - 1 > 0$ ；命题q： $\exists x \in R ， sin x + cos x = \sqrt{2} .$ 则下列判断正确的是（）

A、 $\neg p$ 是假命题 B、q是假命题 C、 $p \lor q$ 是假命题 D、 $(￢ p) \land q$ 是真命题

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6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）

A、1.5尺 B、2.5尺 C、3.5尺 D、4.5尺

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7. 下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系 $y = - 0.1 x + 1$ ，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}$ ， $k = 0.3$ ．
其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N *)$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则 $x^{3}$ 的系数为（）

A、14 B、 $- 14$ C、240 D、 $- 240$

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9. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）

A、 $\frac{5}{81}$ B、 $\frac{14}{81}$ C、 $\frac{22}{81}$ D、 $\frac{25}{81}$

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10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若 $\vec{Q F_{2}} = 2 \vec{P F_{1}}$ ，且 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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11. 四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D ⊥$ 面PAB， $B C ⊥$ 面PAB，底面ABCD为梯形， $A D = 4$ ， $B C = 8$ ， $A B = 6$ ， $∠ A P D = ∠ B P C$ ，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（）

A、线段 B、圆的一部分 C、椭圆的一部分 D、抛物线的一部分

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二、解答题

12. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．
若下面4个说法都是正确的：

①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．

此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断

A、甲在打印材料 B、乙在批改作业 C、丙在写教案 D、丁在打印材料

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13. 在 $△ A B C$ 中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知 $a > c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ， $\sin (A - B) + \sin C = \frac{2}{3} \sin A$ ， $b = 3$ ．

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、求边a，c的值．

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14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .

（Ⅰ）求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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15. 已知动点 $P$ 到直线 $l ： x = - 2$ 的距离比到定点 $F (1 ， 0)$ 的距离多1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程

(2)、若 $A$ 为（1）中曲线 $E$ 上一点，过点 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $C$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $O C$ 交曲线 $E$ 于另外一点 $B$ ，证明直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} \sin x - a x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a \leq 1$ 时，求证：对于任意的 $x \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ ，均有 $f (x) \geq 0$ .

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17. 2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．

(1)、估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本标准差s作为 $σ$ 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；

(3)、某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到 $k + 1$ ），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到 $k + 2$ ），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为 $P_{n}$ ，试证明 ${P_{n} - P_{n - 1}} (1 \leq n \leq 49 ， n \in N^{*})$ 是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 $ρ$ $\sin^{2} θ$ ＝ $a \cos θ$ （ $a$ ＞0），过点 $P (- 2 ， - 4)$ 的直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x ＝－ 2 ＋ \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y ＝－ 4 ＋ \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \end{cases}$ （t为参数），直线 $l$ 与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若 $| P A | \cdot | P B | = | A B |^{2}$ ，求a的值．

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19. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + \frac{1}{a} | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、证明： $f (m) + f (- \frac{1}{m}) \geq 4$ .

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三、填空题

20. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 1 \geq 0 ， \\ x - y \leq 0 ， \\ x + y - 4 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值．

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21. $\int_{- 2}^{2} (\sin x + \sqrt{4 - x^{2}}) d x =$ .

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22. 若圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 7 = 0$ 关于直线 $a x + b y + 4 = 0$ 对称，由点 $P (a, b)$ 向圆 $C$ 作切线，切点为 $A$ ，则线段 $P A$ 的最小值为．

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23. 已知函数 $y = | \sin x |$ 的图象与直线 $y = m (x + 2) (m > 0)$ 恰有四个公共点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ， $D (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{2 + x_{4}}{\tan x_{4}} =$ ．

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