广东省东莞市2020届高三下学期文数4月模拟自测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}, B = {x | 2 x - 1 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, \frac{1}{2})$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 3)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i$ ，则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 玫瑰花窗(如图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感．构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等．下图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形 $A B C D$ ，在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为（）

A、 $\frac{2}{π + 2}$ B、 $\frac{1}{π + 1}$ C、 $\frac{4}{π + 2}$ D、 $\frac{2}{π + 1}$

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4. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ；且 $f (m) = 2$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、4或 $\frac{1}{4}$ D、4或 $- \frac{1}{4}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为135°，且 $\vec{a}$ 为单位向量， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $3 + \sqrt{2}$ C、1 D、 $3 - \sqrt{2}$

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6. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若 $△ A F_{2} B$ 是边长为4的等边三角形，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7. 定义运算 $a * b$ 为执行如图所示的程序框图输出的 $S$ 值，则 $(\cos \frac{π}{12}) * (\sin \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、-1

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8. 约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度．如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（）

A、115米 B、137.2米 C、230米 D、252.2米

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9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：
评委序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
评分
10
8
9
8
9
10
9
记现场评委评分的平均分为 ${\bar{x}}_{1}$ ，网络评分的平均分为 ${\bar{x}}_{2}$ ，所有评委与场内学生评分的平均数为 $\bar{x}$ ，那么下列选项正确的是（）

A、 $\bar{x} < \frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ B、 $\bar{x} = \frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ C、 $\bar{x} > \frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ D、 $\bar{x}$ 与 $\frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ 关系不确定

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图象关于原点对称，则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称 B、关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、关于点( $\frac{π}{2}$ ，0)对称 D、关于点( $\frac{π}{3}$ ，0)对称

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ 截得的弦长为 $2 b$ (其中 $c$ 为双曲线的半焦距)，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B$ 和 $D D_{1}$ 的中点，经过点 $B_{1}$ ，E，F的平面 $α$ 交 $A D$ 于 $G$ ，则 $A G =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. $Δ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $a \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin A$ ，则 $B =$ ．

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14. 已知 $f (x) = \frac{x^{2} + k x + 1}{e^{x}}$ 在 $x = 0$ 的切线方程为 $y = x + 1$ ，则 $k =$ ．

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = B C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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16. 已知 $f (x) = \frac{a x + \sin (\frac{π}{2} x)}{x} - 2 x$ 在 $x \in (0 ， 1)$ 上恰有一个零点，则正实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 16$ ， $a_{3} = 3 a_{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前2n项的和 $T_{2 n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，其中 $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 4$ ， $A P = A B = B C = 2$ ，E是AD的中点，AC和BE交于点O，且 $P O ⊥$ 平面ABCD．

(1)、证明：平面PAC⊥平面PCD；

(2)、求点D到平面PCE的距离．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 3 a x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、若函数 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆心 $N (1, 0)$ ，点E在直线 $x = - 1$ 上，点P满足 $\vec{P E} / / \vec{O N}$ ， $\vec{N P} \cdot \vec{N E} = \vec{E P} \cdot \vec{E N}$ ，点P的轨迹为曲线M．

(1)、求曲线M的方程．

(2)、过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若 $| A C |$ 、 $| C D |$ 、 $| D B |$ 成等差数列，求直线l的方程．

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21. 在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：

(1)、根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；

(2)、新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常．
（i）在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ．第一天，若某位感染者产生 $a (a \in N)$ 名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为 $a p (1 + a p)$ ；以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 $E_{n} (2 \leq n \leq 10)$ ．写出 $E_{4}$ ， $E_{n}$ ；

（ii）在（i）的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为 $p^{'}$ ，且满足关系 $p^{'} = \ln (1 + p) - \frac{2}{3} p$ ，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 $E_{n}^{'} (2 \leq n \leq 10)$ ．当 $p^{'}$ 最大，且 $a = 10$ 时，根据 $E_{6}$ 和 $E_{6}^{'}$ 的值说明戴口罩的必要性．（ $p^{'}$ 精确到 $0.1$ ）

参考公式：函数 $y = \ln (1 + x)$ 的导函数 $y^{'} = \frac{1}{x + 1}$ ；

参考数据： $\ln 3 \approx 1.1$ ， $\ln 2 \approx 0.7$ ， $6^{4} = 1296$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = 3 + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 a \sin θ (a > 0)$ ，已知直线 $l$ 与曲线C有且仅有一个公共点．

(1)、求a；

(2)、 $A ， B$ 为曲线 $C$ 上的两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，求 $| O A | + | O B |$ 的最大值．

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23. 设函数 $f (x) = | 3 x + 1 | + | 3 x - a |, x \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 9$ 的解集；

(2)、对任意 $x \in R$ ，恒有 $f (x) > 2 a - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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评委序号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦
评分	10	8	9	8	9	10	9