安徽省芜湖市示范高中2020届高三下学期文数5月联考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $B = {x | x = 2 n + 1, n \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ B、 ${- 1, 1, 3}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${- 1, 1}$

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2. 已知复数 $(1 + i) z = 2 - 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，且满足 $a_{2 n} - a_{n} = 2 n$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{9}$ 为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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5. 已知 $f (x - 2) = \ln x - \frac{2}{x}$ ，且 $f (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(4, 5)$

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6. 某班级要选出同学参加学校组织的歌唱比赛，自愿报名的同学共有6人，其中4名女生，2名男生，现从中随机选出3名同学，则选出的3名同学中至少1名男生的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ ，下列关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ 是对称轴 B、在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上最大值为1 D、在 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上最小值为 $- 1$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $- 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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9. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ m x - y \leq 0 \end{array}$ ，且 $z = 2 x - y$ 的最大值为1，则实数m的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - b x + e^{x} - e^{- x} (a > 0)$ ，其中e是自然对数的底数，若 $f (x)$ 在R上单调递增，则b的范围是（）

A、 $b \leq e$ B、 $b \leq 2$ C、 $b \leq 1$ D、 $b \leq 0$

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11. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $\frac{41 π}{4}$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $\frac{136 π}{9}$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{x} + 1}$ ，且 $a = f (1)$ ， $b = - f (3 - π)$ ， $c = - f (\cos 130 °)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (3 x + 2)$ ，若 $f (a) = 3$ ，则 $a =$ ．

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14. 过点 $M (- 1, 2)$ 且倾斜角为 $135 °$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 相交的弦长为．

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15. 18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一项除以10得到：0.4，0.7，1.0，1.6.2.8，5.2，10.0，…，这个数列称为提丢斯数列．则提丢斯数列的通项 $a_{n} =$ ．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且斜率为3的直线l与双曲线C交于A，B两点，且 $B F_{1} ⊥ B F_{2}$ ， $\vec{A F_{2}} = λ \vec{F_{2} B} (λ \in R)$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $36 a \sin A = 3 b \sin B = 4 c \sin C$ ．
（Ⅰ）求角B的余弦值；

（Ⅱ）若 $a = 2$ ，角B的平分线BD交AC于点D，求BD的长度．

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18. 某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照

[0 ， 2]

，

(2 ， 4]

，

(4 ， 6]

，

(6 ， 8]

，

(8 ， 10]

的分组作出频率分布直方图如图所示．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？

	男生	女生	总计
不合格
合格	70
总计	140	160	300

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19. 如图1所示在菱形ABCD中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点E是AD的中点，将 $△ A B E$ 沿BE折起，使得平面 $A B E ⊥$ 平面BCDE得到如图2所示的四棱锥 $A - B C D E$ ，点F为AC的中点．在图2中

（Ⅰ）证明： $D F / /$ 平面ABE；

（Ⅱ）求点A到平面BEF的距离．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距和短轴长度相等，且过点 $(\sqrt{2} ， 1)$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）圆 $O ： x^{2} + y^{4} = 4$ 与椭圆C分别交y轴正半轴于点A，B，过点 $P (m ， 0)$ （ $- 2 < m < 2$ ，且 $m \neq 0$ ）且与x轴垂直的直线l分别交圆O与椭圆C于点M，N（均位于x轴上方），问直线AM，BN的交点是否在一条定直线上，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{m + \cos x}$ ，其中m为常数，且 $\frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点．
（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若 $k (e^{x} - 1) > f (x)$ 在 $x > 0$ 上恒成立，求实数 $k$ 的最小值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (\cos θ + 2 \sin θ) = 10$ ，曲线C的极坐标方程为 $13 ρ^{2} - 5 ρ^{2} \cos 2 θ = 72$ ．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）点M为曲线C上一点，求M到直线l的最小距离．

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 3 | (a \in R)$ ，不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 ${x | 2 < x < 4}$ ．
（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若不等式 $f (x) - | x + 4 | \geq | m - 1 |$ 有解，求实数m的取值范围．

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