安徽省芜湖市示范高中2020届高三下学期理数5月联考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | | x + 1 | < 3}$ ， $N = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 4 < x < 3}$ B、 ${x | - 4 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

查看试题解析
2. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ”是 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

查看试题解析
3. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，则 $| z |$ 最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

查看试题解析
4. 为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .已知 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 225$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1600$ ， $\hat{b} = 4$ .该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（）

A、170 B、166 C、163 D、160

查看试题解析
5. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ， $b = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ ， $c = \ln 5$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

查看试题解析
6. 若将函数 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} cos 2 x$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，所得图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、8 B、16 C、32 D、81

查看试题解析
8. 已知向量 $\vec{a} = (1, k)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数k的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\pm \sqrt{2}$

查看试题解析
9. 函数y= $2^{| x |}$ sin2x的图象可能是

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则一卦中恰有三个变爻的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{15}{64}$ C、 $\frac{135}{1024}$ D、 $\frac{1215}{4096}$

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线MN与C的左支交于M，N两点，若 $(\vec{F_{2} F_{1}} + \vec{F_{2} M}) \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ ， $| \vec{F_{2} N} | = 2 | \vec{F_{2} M} |$ ，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

查看试题解析
12. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为DC中点，F在线段 $D_{1} C_{1}$ 上运动，则三棱锥 $F - A D E$ 的外接球的表面积最小值为（）

A、 $14 π$ B、 $9 π$ C、 $\frac{545}{64} π$ D、 $\frac{525}{64} π$

查看试题解析

二、填空题

13. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

查看试题解析
14. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x - y$ 的最小值为.

查看试题解析
15. 直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于A､B两点，F为椭圆的右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆的离心率为.

查看试题解析
16. 若不等式 $a \sin x + \sin 3 x - \frac{1}{8} \leq 0$ 对任意 $x \in [0 ， π]$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且满足 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 6$ ，记此三角形的面积为S.

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求S的值；

(2)、若 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\sin A \sin B$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形， $A A_{1} = 4$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，E，M，N分别是BC， $B B_{1}$ ， $A_{1} D$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 面 $D D_{1} E$ ；

(2)、求平面DMN与平面 $D D_{1} E$ 所成锐角的正切值.

查看试题解析
19. 在平面直角坐标系xOy中，过点 $(0 ， 4)$ 的直线l与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为 $⊙ M$ ， $⊙ M$ 与抛物线C的准线始终相切.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求 $S_{△ A B N}$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 学号为1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余(同除以3余数相同)，则该小学生可以上2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地(0阶楼梯)开始向上爬，且楼梯数足够多.

(1)、经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；

(2)、经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为 $P_{n}$ ，试求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的值，并探究数列 ${P_{n}}$ 可能满足的一个递推关系和通项公式.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + 2 e^{- x} + (a - 2) x$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 存在极值，求实数a的取值范围；

(2)、设 $1 \leq a \leq 2$ ，设 $g (x) = f (x) - (a + 2) \cos x$ 是定义在 $(- \infty ， \frac{π}{2}]$ 上的函数.
（ⅰ）证明： $y = g^{'} (x)$ 在 $(- \infty ， \frac{π}{2}]$ 上为单调递增函数( $g^{'} (x)$ 是 $y = g (x)$ 的导函数)；

（ⅱ）讨论 $y = g (x)$ 的零点个数.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 $M (ρ_{0}, θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C : ρ = 4 \cos θ$ 上，直线l过点 $A (4, \frac{π}{2})$ 且与OM垂直，垂足为P.

(1)、当 $θ_{0} = \frac{π}{6}$ 时，求在直角坐标系下点 $M$ 坐标和l的方程；

(2)、当M在C上运动且P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程.

查看试题解析
23. 设 $x, y, z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .

(1)、证明： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3}$ ；

(2)、求 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2}$ 的最小值.

查看试题解析