安徽省皖南八校2020届高三理数第三次联考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x \in N^{*} | x^{2} - 2 x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足 $(1 - i) z = 2 + 2 i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、4 B、2 C、-4 D、-2

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = a_{8} = 8$ ，则公差d 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：

针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是（）

A、获得A等级的人数不变 B、获得B等级的人数增加了1倍 C、获得C等级的人数减少了 D、获得E等级的人数不变

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5. 函数 $y = (e^{x} - e^{- x}) \cos x$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A C} = 5 \vec{A D}$ ， $E$ 是直线 $B D$ 上一点，且 $\vec{B E} = 2 \vec{B D}$ ，若 $\frac{1}{2}$ 则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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8. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ 在区间 $[a ， b]$ 上是增函数，且 $f (a) = - 2$ ， $f (b) = 2$ ，则函数 $g (x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x$ 在区间 $[a ， b]$ 上（）

A、是增函数 B、是减函数 C、可以取得最大值2 D、可以取得最小值 $- 2$

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9. 若曲线 $y = \ln (x + a)$ 的一条切线为 $y = e x - b$ （ $e$ 为自然对数的底数），其中 $a ， b$ 为正实数，则 $\frac{1}{e a} + \frac{1}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， e)$ B、 $(e ， 4]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $∠ A P C = \frac{π}{4}$ ， $∠ B P C = \frac{π}{3}$ ， $P A ⊥ A C$ ， $P B ⊥ B C$ ，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，若点 $P ， A ， B ， C$ 都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $16 π$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} - x^{2} + 3$ ， $g (x) = f (x) + b$ ，若函数 $y = f (g (x))$ 有6个零点，则实数b的取值范围为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点 $A ， B$ （其中 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $A ， B$ 两点在抛物线的准线上的投影分别为 $M ， N$ ，若 $| M F | = 2 \sqrt{3}$ ， $| N F | = 2$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、4.

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二、填空题

13. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中常数项为.

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14. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的始边是x 轴非负半轴，终边经过点 $P (\sin \frac{2 π}{3}, \cos \frac{2 π}{3})$ ，则 $c o s (π + α) =$ .

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R 的偶函数， $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 3 - \log_{2} x, 0 < x < \frac{1}{2} \\ \sqrt{1 - x}, \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (- \frac{9}{4}) + f (11) =$ .

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16. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + a_{3}^{3} + \dots + a_{n}^{3} = S_{n}^{2} + 2 S_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{n} < m$ 成立的最小的 $m$ 的值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $2 a \cos A = b \cos C + c \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为长方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点，F 为线段 $B C$ 上靠近B 点的三等分点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $P C D$ 所成二面角的正弦值.

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19. 2019新型冠状病毒（2019―nCoV）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表：

	戴口罩	未戴口罩	总计
未感染	30	10	40
感染	4	6	10
总计	34	16	50

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；

(2)、从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

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20. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，椭圆上一点P满足 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $| P F_{2} | = 5 | P F_{1} |$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线l交椭圆C于 $A, B$ 两点，当 $△ A B F_{1}$ 的内切圆面积最大时，求直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln (x + 2) (a \in R)$ .

(1)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 2$ .

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{4}{5} t \\ y = 1 + \frac{3}{5} t \end{array}$ （t为参数），以直角坐标系的原点为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{2} \cos (θ - \frac{π}{4})$ .

(1)、求直线l 的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知直线l与曲线C交于 $A, B$ 两点，试求 $A, B$ 两点间的距离.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ .

(1)、求 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值；

(2)、若不等式 $| x + m | - | x + 1 | \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 对任意 $x \in R$ 及条件中的任意 $a, b$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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