安徽省皖江名校联盟2020届高三下学期理数5月联考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = Z$ ， $M = {x \in Z | x^{2} + 2 x - 3 \leq 0}$ ， $N = {x \in R | x^{2} = 2 - x}$ ，则 $M \cap (C_{U} N) =$ （）

A、 ${- 3, - 1, 2}$ B、 ${- 3, - 1, 0}$ C、 ${- 3, 0, 1}$ D、 ${- 3, 1, 2}$

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2. 若复数 $\frac{a + i}{2 - i}$ （ $i$ 是虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率是3， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是其左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且与双曲线的渐近线平行的直线方程是（）

A、 $8 x + y - 24 = 0$ B、 $2 \sqrt{2} x + y + 6 \sqrt{2} = 0$ C、 $2 \sqrt{2} x - y - 6 \sqrt{2} = 0$ D、 $2 \sqrt{2} x - y + 6 \sqrt{2} = 0$

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{52}{15}$ D、 $\frac{304}{105}$

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6. 设 $m > 0$ ，把函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ 的图象向左平移m个单位长度后，得到函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象（ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则m的值可以为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 天然气已经进入了千家万户，某市政府为了对天然气的使用进行科学管理，节约气资源，计划确定一个家庭年用量的标准.为此，对全市家庭日常用气的情况进行抽样调查，获得了部分家庭某年的用气量（单位：立方米）.将统计结果绘制成下面的频率分布直方图（如图所示）.由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.若以各组区间中点值代表该组的取值，则估计全市家庭年均用气量约为（）

A、6.5立方米 B、5立方米 C、4.5立方米 D、2.5立方米

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8. 数列{F_n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列{F_n}的前n项和为S_n ，则下列结论中正确的是（）

A、 $S_{2020} = F_{2022} + 1$ B、 $S_{2020} = F_{2022} - 1$ C、 $S_{2020} = F_{2021} + 1$ D、 $S_{2020} = F_{2021} - 1$

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9. 已知函数 $f (x) = 1 - x^{2}$ ， $g (x) = m \sin (\frac{π}{6} x) + 2 - m (m > 0)$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则m的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[1, 4)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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10. 设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x_{0}, 1)$ 在 $C$ 上，且 $| M F | = 3$ ，若过 $C$ 上一个定点 $P (m, n) (m \neq 0)$ 引它的两条弦 $P S$ ， $P T$ ，直线 $P S$ ， $P T$ 的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线 $S T$ 的斜率是（）

A、 $- \frac{m}{4}$ B、 $- \frac{n}{4}$ C、 $- \frac{m}{2}$ D、 $- \frac{n}{2}$

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11. 设O是 $△ A B C$ 所在平面上一点，点H是 $△ A B C$ 的垂心，满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$ ，且 $\sqrt{3} \cdot \vec{O A} + \vec{O B} + \sqrt{2} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ，则角A的大小是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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12. 在四面体 $A - B C D$ 中，棱 $A B = \sqrt{3}$ ，其余各条棱长均为2，则四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{52 π}{9}$ B、 $\frac{25 π}{9}$ C、 $\frac{25 π}{36}$ D、 $\frac{13 π}{9}$

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二、填空题

13. 设 ${(x - 2)}^{8} + 441 x^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 已知圆锥的顶点为A，过母线 $A B$ 、 $A C$ 的截面面积是 $2 \sqrt{3}$ .若 $A B$ 、 $A C$ 的夹角是 $60 °$ ，且 $A C$ 与圆锥底面所成的角是 $30 °$ ，则该圆锥的体积为.

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15. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} > 0$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和， $a_{2019} + a_{2020} > 0$ ， $a_{2019} \cdot a_{2020} < 0$ ，则使 $S_{n} > 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是.

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16. 已知函数 $f (x) = (2 x + 1) e^{x + 1} + a x$ （ $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数）.若有且仅有3个负整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) \leq 0$ ， $f (x_{2}) \leq 0$ ， $f (x_{3}) \leq 0$ ，则a的最小值是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，三内角A，B，C对应的边分别是a，b，c， $b \cos C + c \cos B + 2 \cos A = 0$ ，且 $a = 1$ .
（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{32}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 如图所示，在多面体 $A B C D E$ 中， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B E / / C D$ ，点M在 $C D$ 上，点N是 $A E$ 的中点，且 $A B = A C = B C = B E = 2$ ，且 $C M = \frac{1}{3} C D = 1$ .

（Ⅰ）证明： $M N ⊥$ 平面 $A B E$ ；

（Ⅱ）求二面角 $N - D E - C$ 的余弦值.

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19. 某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品100天的销售数量做调查，统计数据如下图所示：

销售数量（件）	48	49	n	52	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73
天数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1

经计算，上述样本的平均值 $μ = 64$ ，标准差 $σ = 4.8$ .

（Ⅰ）求表格中字母n的值；

（Ⅱ）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述100天的销售业绩中随机抽取1天，记当天的销售数量为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的概率）；

① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \geq 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \geq 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \geq 0.9973$ .

评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等级为良好；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格.试判断该公司的销售水平；

（Ⅲ）从上述100天的样本中随机抽取2个，记样本数据落在 $(μ - 2 σ, μ + 2 σ]$ 内的数量为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知定圆A： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ ，动圆M过点 $B (1, 0)$ ，且和圆A相切.
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ ： $y = k x + m (k \neq 0)$ 与轨迹 $E$ 交于A，B两点，线段 $A B$ 的垂直平分线经过点 $N (0, - \frac{1}{2})$ ，求实数m的取值范围.

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21. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a \ln (- x) + (a + 1) x^{2} + 1$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线与直线 $8 x + y - 2 = 0$ 平行，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $| \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} | > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = - 1 + t \sin α \end{array}$ （t为参数， $α$ 为直线的倾斜角）.
（Ⅰ）求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求直线 $l$ 倾斜角的大小.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ .
（Ⅰ）若对于任意的正数a，b，不等式 $| 2 x - 1 | - | x - 1 | \leq \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}$ 恒成立，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）证明： $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{5} + b^{5}) \geq 1$ .

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