安徽省示范高中皖北协作区2020届高三下学期第理数22届联考试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z = \frac{i}{2 + i}$ ，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | x < 1 或 x > 3}$

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $S_{5} = 5$ ， $a_{6} = 10$ .则 $a_{8}$ =（）

A、15 B、16 C、19 D、20

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4. 已知 $a = \sin \frac{1}{2}$ ， $b = \ln 2$ ， $c = π^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 函数 $y = f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上的图像如图所示，则其解析式可能为（）

A、 $f (x) = x \sin x$ B、 $f (x) = x \cos x$ C、 $f (x) = \ln (\frac{π - x}{π + x}) \cos x$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cos x$

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6. 如图是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时绘制的“赵爽弦图”，该图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国对勾股定理的最早证明.记直角三角形中较小的锐角为 $θ$ ，且 $\cos 2 θ = \frac{7}{25}$ .若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{25}$ C、 $\frac{1}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知 ${(x + 2)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ （其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ），且 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ 成等差数列，则 $n =$ （）

A、8 B、7 C、6 D、5

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8. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且对任意 $t \in R$ 都有 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} - t \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $π$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上有且只有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{4} ， \frac{7}{4}]$ B、 $[\frac{5}{4} ， \frac{7}{4})$ C、 $(\frac{7}{4} ， \frac{9}{4}]$ D、 $[\frac{7}{4} ， \frac{9}{4})$

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11. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（）
① $△ A O B$ 面积的最小值为4；②以 $A F$ 为直径的圆与x轴相切；③记 $O A$ ， $O B$ ， $A B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则 $k_{1} + k_{2} = k_{3}$ ；④过焦点F作y轴的垂线与直线 $O A$ ， $O B$ 分别交于点M，N，则以 $M N$ 为直径的圆恒过定点.

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = 2$ ， $A D = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，且二面角 $B - A C - D$ 为120°，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $7 π$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{2 n}$ =.

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15. 某学生社会实践小组调查发现，某商品的供应量与商品的销售价格有如下关系：当商品供应的增加量不超过原供应量时，商品的销售价格的降低量与商品供应的增加量的算术平方根成正比.假设商品的原供应量为1个单位，当商品供应量增加一倍时，销售价格降为原来的一半.若商品的销售价格不高于原来的80% ，则供应量至少增加为原来的倍.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k x ， x \leq 0 ， \\ \sin x ， x > 0. \end{array}$ 若方程 $f (x) + f (- x) = 0$ 有且只有五个根，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ （设 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$ ），则下列命题正确的是（填写所有正确命题的序号）.
① $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0$ ；②存在k使得 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 成等差数列；

③当 $k < 0$ 时， $- \frac{2}{3 π} < k < 0$ ；④当 $k > 0$ 时， $x_{5} = \tan x_{5}$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A + \sqrt{3} c$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $b + 2 c$ 的取值范围.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，M为 $C D$ 上的一点，以 $A M$ 为折痕把 $△ A M D$ 折起，使点D到达点P的位置，且平面 $A M P ⊥$ 平面 $A B C D$ .连接 $P B$ ， $P C$ ，点N为 $P B$ 的中点，且 $C N //$ 平面 $A M P$ .

(1)、求线段 $C M$ 的长；

(2)、求平面 $A M P$ 与平面 $B C P$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：

若评分不低于80分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025
$k$	2.706	3.841	5.024

(1)、请根据此样本完成下列2×2列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？

	认可	不认可	合计
A城市
B城市
合计

(2)、以该样本中A，B城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户个数，求X的分布列.

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20. 已知 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上的一点，F为椭圆的右焦点，且 $P F$ 垂直于x轴，不过原点O的直线 $l$ 交椭圆于A，B两点，线段 $A B$ 的中点M在直线 $O P$ 上.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、当 $△ A B P$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq x - \ln x$ ；

(2)、是否存在不相等的正实数m，n满足 $m = n^{2}$ ，且 $f (m) = f (n)$ ？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{- 1 + 3 λ}{1 + λ} \\ y = \frac{1 - 2 λ}{1 + λ} \end{array}$ （ $λ$ 为参数，且 $λ \neq - 1$ ）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 12 ρ \cos θ + 32 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点P的极坐标为 $(2 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，Q为曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $P Q$ 的中点M到曲线 $C_{1}$ 的距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 5 - x | - | x + m | (m > 0)$ 的最大值为8.

(1)、求m的值；

(2)、若实数a满足 $f (a - 1) + f (a) > 0$ ，求a的取值范围.

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