安徽省马鞍山市2020届高三理数第二次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | 2^{x} > 1}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. 已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则复数 $z^{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x)$ 与它的导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，则下列命题中，正确的是（）

A、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ B、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $f^{'} (x)$ 一定是偶函数 C、若 $f (\log_{2} x) = x^{2}$ ，则 $f^{'} (1) = 4$ D、若 $f (x)$ 的图象在区间 $(a ， b)$ 连续不断，则 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上一定有最大值

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4. 为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（）

A、10种 B、40种 C、80种 D、240种

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5. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 关于函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ 有下述四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上是减函数；② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称；③ $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称；④ $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， π]$ 上的值域为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ .

其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知 $△ A B C$ 外接圆面积为 $π$ ， $\cos A = - \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $1 + 2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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9. 已知F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于 $x$ 轴上方，点 $A (- 3 ， 4)$ ，若直线 $O A$ 平分线段 $P F$ ，则 $∠ P A F$ 的大小为（）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、无法确定

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10. 如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是（）

A、该三棱柱的侧视图一定为矩形 B、该三棱柱的侧视图可能为菱形 C、该三棱柱的表面积一定为 $12 + 2 \sqrt{3}$ D、该三棱柱的体积一定为 $2 \sqrt{3}$

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11. 设 $a, b, m \in Z, m > 0$ ，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b模m同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ ，已知 $a = 1 + C_{20}^{1} \times 2 + C_{20}^{2} \times 2^{2} + C_{20}^{3} \times 2^{3} + \dots + C_{20}^{20} \times 2^{20}, b \equiv a (\mod 10)$ ，则 $b$ 的值可能是（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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12. 梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ D A B = 120 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A D = 2$ ，现将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，使得二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $120 °$ ，若 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{40 π}{3}$ C、 $\frac{64 π}{3}$ D、 $\frac{76 π}{3}$

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \leq 0 \\ x + 2 y - 8 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最大值为．

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14. 百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图.相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称.如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成.在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠.九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板.已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - \frac{1}{e^{2}} x - b$ （ $e$ 为自然对数的底数），若函数 $g (x)$ 有且只有三个零点，则实数b的值为.

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16. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，过 $E$ 的左焦点 $F (- 5 ， 0)$ 作直线l，直线l与双曲线E分别交于点 $A ， B$ ，与 $E$ 的两渐近线分别交于点 $C ， D$ ，若 $\vec{F A} = \vec{A C}$ ，则 $| \vec{B D} | =$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{a_{n}} + n - 1$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + n$ ， $c_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n} b_{n}}$ .

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，多面体 $A B C E D$ 中，面 $A B D ⊥$ 面 $A B C$ ，面 $B C E ⊥$ 面 $A B C$ ， $D E //$ 面 $A B C$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B E = C E$ ， $A D = B D = B C = 2$ .

(1)、求 $∠ B E C$ 的大小；

(2)、若 $D E = 2$ ，求二面角 $B - D E - C$ 的余弦值.

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19. 已知 $F$ 为抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，以F为圆心作半径为 $R$ 的圆 $Γ$ ，圆 $Γ$ 与x轴的负半轴交于点 $A$ ，与抛物线E分别交于点 $B ， C$ .

(1)、若 $△ A B C$ 为直角三角形，求半径R的值；

(2)、判断直线 $A B$ 与抛物线E的位置关系，并给出证明.

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20. 随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：

平均每周健身天数	不大于2	3或4	不少于5
人数（男）	20	35	9
人数（女）	10	20	6

若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.25	0.10	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	0.455	1.323	2.706	3.841	6.636	7.879

(1)、已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；

(2)、能否在犯错误的概率不超过

0.05

的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？

(3)、该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：

方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；

方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.

请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} - e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $0 < \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 4 \\ y = 2 t - \frac{4}{t} \end{array}$ （ $t$ 为参数，且 $t > 0$ ），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ - 3 ρ \sin θ - 1 = 0$ .

(1)、写出曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| Q M |}$ .

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23. 已知 $a ， b$ 为实数，且满足 $3 a^{2} + 4 b^{2} \leq 12$ .证明：

(1)、 $a b \leq \sqrt{3}$ ；

(2)、 $a + 2 b \leq 4$ .

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