安徽省六校教育研究会2020届高三理数第二次素质测试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | \frac{1}{x} > - 1}, B = {x \in R | | x | > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足： $z i = 3 + 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $4 + 3 i$ B、 $4 - 3 i$ C、 $- 4 + 3 i$ D、 $- 4 - 3 i$

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3. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为

70 %

.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：

实施项目	种植业	养殖业	工厂就业	服务业
参加用户比	$40 %$	$40 %$	$10 %$	$10 %$
脱贫率	$95 %$	$95 %$	$90 %$	$90 %$

那么 $2019$ 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）

A、

\frac{27}{28}

倍 B、

\frac{47}{35}

倍 C、

\frac{48}{35}

倍 D、

\frac{7}{5}

倍

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4. 函数 $y = \sin | x | + x$ 在 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 上的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点 $A (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ 2 x - y + 4 \geq 0 \\ 4 x + y - 4 \leq 0 \end{array}$ ，则 $| 3 x + 4 y |$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $28 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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8. 《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为 $10 m$ ，阴阳太极图的半径为 $4 m$ ，则每块八卦田的面积约为（）

A、 $47.79 m^{2}$ B、 $54.07 m^{2}$ C、 $57.21 m^{2}$ D、 $114.43 m^{2}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且当 $n$ 为奇数时， $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ；当n为偶数时， $a_{n + 2} + 1 = 3 (a_{n} + 1)$ ．则此数列的前20项的和为（）

A、 $\frac{3^{11} - 3}{2} + 90$ B、 $\frac{3^{11} - 3}{2} + 100$ C、 $\frac{3^{12} - 3}{2} + 90$ D、 $\frac{3^{12} - 3}{2} + 100$

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10. 函数 $g (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，已知 $g (0) = g (\frac{5 π}{6}) = \sqrt{3}$ ，函数 $y = f (x)$ 的图象可由 $y = g (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度而得到，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 \sin 2 x$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = - 2 \sin x$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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11. 已知函数 $f (x) = (\ln a x - 1) (x^{2} + a x - 4)$ ，若 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $2 e$ B、 $4 e$ C、 $\frac{e}{\sqrt{e - 2}}$ D、 $\frac{e}{\sqrt{4 - e}}$

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12. 如图，棱长为l的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A B_{1}$ 的中点， $M ， N$ 分别为线段 $A C_{1}$ 和棱 $B_{1} C_{1}$ 上任意一点，则 $2 P M + \sqrt{2} M N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} \cdot a_{4} = \frac{9}{2^{4}}, a_{7} \cdot a_{9} = \frac{9}{2^{14}}$ ，则 $a_{13} =$ ．

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14. ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的二项展开式中，含 $\sqrt{x}$ 项的系数为．

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15. 如图，两个同心圆O的半径分别为 $2$ 和 $\sqrt{2}$ ， $A B$ 为大圆O的一条直径，过点B $B$ 作小圆O的切线交大圆于另一点C，切点为M，点P为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的任一点（不包括 $B ， C$ 两点），则 $\vec{A M} \cdot (\vec{B P} + \vec{C P})$ 的最大值是．

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16. 已知两动点 $A, B$ 在椭圆 $C \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上，动点P在直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上，若 $∠ A P B$ 恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为．

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 \sin^{2} \frac{A - B}{2} + 2 \cos^{2} \frac{A + B}{2} + 2 \cos A \cos B = 1$

(1)、求角 $C$ 的大小

(2)、若 $c = 4, | \vec{C A} + \vec{C B} | = \sqrt{38}$ ，求的周长

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A B$ 为等腰直角三角形， $B C ⊥$ 平面 $P A B ， P A = P B ， A B = B C = 2 ， A D = B D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成的角的正弦值．

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19. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $A (a, 3)$ ，点P为抛物线C上的动点．

(1)、若 $| P A | + | P F |$ 的最小值为5，求实数a的值；

(2)、设线段 $O P$ 的中点为 $M$ ，其中 $O$ 为坐标原点，若 $∠ M O A = ∠ M A O = ∠ A O F$ ，求 $Δ O P A$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - λ e^{x} \cos x - 1 (λ \in R)$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线．

(1)、求证：无论实数 $λ$ 取何值，直线 $l$ 恒过定点，并求出该定点的坐标；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $(1, 6)$ ，试判断函数 $f (x)$ 的零点个数并证明．

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21. 某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 $p$ ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 $5$ 件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每 $k$ 个 $(k \leq 5)$ 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或 $1 + k$ 次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X．

(1)、求X的分布列及其期望；

(2)、（i）试说明，当 $p$ 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 $p = 0.1$ 时，求使该方案最合理时 $k$ 的值及 $1000$ 件该产品的平均检验次数．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t \cos α \\ y = 2 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $α$ 为实数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 \sin θ$ ，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A, B$ ，两点，线段 $A B$ 的中点为M．

(1)、求线段 $A B$ 长的最小值；

(2)、求点M的轨迹方程．

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23. 已知非零实数 $a, b$ 满足 $a < b$ ．

(1)、求证： $a^{3} - b^{3} < 2 a^{2} b - 2 a b^{2}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得 $\frac{b}{a^{2}} - \frac{a}{b^{2}} \geq λ (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ 恒成立？若存在，求出实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由

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