安徽省合肥市2020届高三下学期理数4月第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 2^{x} \geq \sqrt{2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[\frac{1}{2}, 3]$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $[- 3, \frac{1}{2}]$ D、 $[2, 3]$

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2. 欧拉公式 ${\begin{matrix} (2 k + b) e = e, \\ (k + b) e = 0, \end{matrix}$ 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 $\cos θ$ 和 $\sin θ$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 $z$ 满足 $(e^{i π} + i) \cdot z = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 4 \geq 0 \\ x - y + 4 \geq 0 \\ 3 x + 2 y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是（）

A、-5 B、-4 C、7 D、16

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4. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{- x} - e x^{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是（）

A、 $y = - e x + e$ B、 $y = e x + e$ C、 $y = e x - e$ D、 $y = (2 e - \frac{1}{e}) x - 2 e + \frac{1}{e}$

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5. 若 $m \cos 80 ° + \sqrt{3} \tan 10 ° = 1$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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6. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 成中心对称，且与直线 $y = a$ 的两个相邻交点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(k π + \frac{π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \tan 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 得到 D、函数 $f (x)$ 的递增区间为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{3} ， \frac{k π}{2} + \frac{π}{6}) (k \in Z)$

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7. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为 $b$ 和 $a$ 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长 $d$ ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边 $B C$ 的中点，作直角三角形 $A B C$ 的内接正方形对角线 $A E$ ，过点A作 $A F ⊥ B C$ 于点F，则下列推理正确的是（）

①由图1和图2面积相等得 $d = \frac{a b}{a + b}$ ；

②由 $A E \geq A F$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{a + b}{2}$ ；

③由 $A D \geq A E$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ ；

④由 $A D \geq A F$ 可得 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ．

A、①②③④ B、①②④ C、②③④ D、①③

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8. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A，B，C三个扶贫项目的意向如下表：

扶贫项目

A

B

C

贫困户

甲、乙、丙、丁

甲、乙、丙

丙、丁

若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（）

A、24种 B、16种 C、10种 D、8种

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9. 某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 $\sqrt{6}$ ，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（）

A、 $24 π$ B、 $(18 + 3 \sqrt{3}) π$ C、 $21 π$ D、 $(18 + 4 \sqrt{2}) π$

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10. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点 $D (3, 0)$ 的直线l交抛物线C于点A，B，若 $| \vec{F A} | - | \vec{F B} | = \sqrt{13}$ ，则 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} =$ （）

A、-9 B、-11 C、-12 D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 若关于x的不等式 $a x - 2 a > 2 x - \ln x - 4$ 有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2 - \ln 3 ， 2 - \ln 2]$ B、 $(- \infty ， 2 - \ln 2)$ C、 $(- \infty ， 2 - \ln 3]$ D、 $(- \infty ， 2 - \ln 3)$

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，二面角 $P - A B - C$ 、 $P - A C - B$ 和 $P - B C - A$ 的大小均等于 $\frac{π}{3}$ ， $A B ： A C ： B C = 3 ： 4 ： 5$ ，设三棱锥 $P - A B C$ 外接球的球心为O，直线 $P O$ 与平面 $A B C$ 交于点Q．则 $\frac{P O}{O Q} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中， $A$ 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．

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15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线 $C$ 左支上一个动点，若 $△ B P F$ 周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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16. 已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\sin A$ ， $\sin B$ ， $\sin C$ 成等比数列， $\sin (B - A)$ ， $\sin A$ ， $\sin C$ 成等差数列，则：（1） $C =$ ；（2） $\frac{\tan A}{\tan B} =$ ．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 1$ ， $S_{7} = 14$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot b_{n} = 2^{\frac{n^{2} + n}{2}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} \cos (a_{n} π)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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18. 如图（1），在矩形 $A B C D$ 中，E，F在边 $C D$ 上， $B C = C E = E F = F D$ ．沿 $B E$ ， $A F$ 将 $△ C B E$ 和 $△ D A F$ 折起，使平面 $C B E$ 和平面 $D A F$ 都与平面 $A B E F$ 垂直，如图（2）．

(1)、试判断图（2）中直线 $C D$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求平面 $A D F$ 和平面 $D E F$ 所成锐角二面角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A，B两点，点 $P (1, \frac{3}{2})$ 在直线l的左上方．

(1)、若以 $A B$ 为直径的圆恰好经过椭圆右焦点 $F_{2}$ ，求此时直线l的方程；

(2)、求证： $△ P A B$ 的内切圆的圆心在定直线 $x = 1$ 上．

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20. 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案

A

是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案

B

是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：

市场销售状态		畅销	平销	滞销
市场销售状态概率 $(0 < p < 1)$		$2 p$	$1 - 3 p$	$p$
预期平均年利润（单位：万元）	方案 $A$	700	400	$- 400$
预期平均年利润（单位：万元）	方案 $B$	600	300	$- 100$

(1)、以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？

(2)、记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为

x

（万件），通过核算，实行方案

A

时新产品的年度总成本

y_{1}

（万元）为

y_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 8 x^{2} + 10 x + 160

，实行方案

B

时新产品的年度总成本

y_{2}

（万元）为

y_{2} = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 20 x + 100

．已知

p = 0.2

，

x \leq 20

．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价

t

（元）分别为60，

60 - \frac{3}{4} x

，

60 - x

，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当

x

取何值时，新产品年利润

ξ

的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} \sin x$ ．（e是自然对数的底数）

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a x$ ，若 $0 < a < 3$ ，试讨论 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的零点个数．（参考数据： $e^{\frac{π}{2}} \approx 4.8$ ）

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22. 在直角坐标系 $x O y$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos φ - 4 \sin φ \\ y = \frac{12}{5} \cos φ + \frac{9}{5} \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ ．

(1)、写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线C交于P，Q两点， $M (2, 0)$ ，求 $| M P | + | M Q |$ 的值．

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23. 已知不等式 $| x - 1 | + | 3 x - 5 | < m$ 的解集为 $(\frac{3}{2}, n)$ ．

(1)、求n的值；

(2)、若三个正实数a，b，c满足 $a + b + c = m$ ．证明： $\frac{b^{2} + c^{2}}{a} + \frac{c^{2} + a^{2}}{b} + \frac{a^{2} + b^{2}}{c} \geq 2$ ．

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扶贫项目	A	B	C
贫困户	甲、乙、丙、丁	甲、乙、丙	丙、丁