安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期理数4月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $M = {x | 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0}$ ， $P = {x | a x = 1}$ ，若 $P \subseteq M$ ，则a的取值集合为（）

A、 ${2}$ B、 ${3}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${0, 2, 3}$

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2. 若复数 $\frac{1 + 2 a i}{2 - i} (a \in R)$ 的实部和虚部相等，则实数a的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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3. 已知平面 $α$ ， $β$ ，直线 $l$ 满足 $l \subset α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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4. 在区间 $[0 ， 1]$ 上随机取两个数 $x ， y$ ，记 $p_{1}$ 为事件“ $x + y \geq \frac{1}{2}$ ”的概率， $p_{2}$ 为事件“ $| x - y | \leq \frac{1}{2}$ ”的概率， $p_{3}$ 为事件“ $x y \leq \frac{1}{2}$ ”的概率，则（）

A、 $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ B、 $p_{2} < p_{3} < p_{1}$ C、 $p_{3} < p_{1} < p_{2}$ D、 $p_{3} < p_{2} < p_{1}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，第2项为3，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当整数 $n > 1$ 时， $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 (S_{n} + S_{1})$ 恒成立，则 $S_{15}$ 等于（）

A、 $210$ B、 $211$ C、 $224$ D、 $225$

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6. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则 $\frac{k_{P B}}{k_{Q F}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{3}{4}) \cup (0 ， \frac{3}{4})$ B、 $(- \infty ， - 0) \cup (0 ， \frac{3}{4})$ C、 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} cos 2 x$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$

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8. 已知实数 $x, y$ 满足 ${(\frac{1}{2})}^{x} < {(\frac{1}{2})}^{y}$ ，则下列关系式中恒成立的是（）

A、 $tan x > tan y$ B、 $ln (x^{2} + 2) > ln (y^{2} + 1)$ C、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ D、 $x^{3} > y^{3}$

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9. 若函数 $f (x) = e^{x} (\cos x - a)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别 $F_{1} 、 F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 在第一象限交于点P，且 $| P O | = | P F_{2} |$ ,则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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11. 已知直线 $4 x + π y - \frac{3 π}{2} = 0$ 经过函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻的最高点和最低点，则将 $f (x)$ 的图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后得到解析式为（）

A、 $y = \cos 2 x$ B、 $y = - \cos 2 x$ C、 $y = \sin (2 x + \frac{3 π}{8})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{8})$

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12. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线 $C ： y = x^{2}$ ，直线 $l$ 为曲线C在点 $(1 ， 1)$ 处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：

图①是底面直径和高均为1的圆锥；

图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；

图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；

图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.

根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题

13. $(x^{2} - \frac{1}{x}) {(2 x + 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 项的系数为．

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14. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为 $a, b, c$ ，且A、B、C成等差数列， $b = \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 面积的取值范围是．

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15. 如图所示，已知直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ，⊙C，⊙D是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段 $A B$ 相切， $| A B | = c$ ，则两圆半径 $r =$ （用常数 $a ， b ， c$ 表示）．

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16. 已知两平行平面 $α 、 β$ 间的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A 、 B \in α$ ，点 $C 、 D \in β$ ，且 $A B = 4 ， C D = 3$ ，若异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角为60°，则四面体 $A B C D$ 的体积为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，边 $a 、 b 、 c$ 所对的角分别为 $A 、 B 、 C$ ， $\frac{a \sin A + b \sin B - c \sin C}{a \sin B} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin C$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $Δ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为1，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D C ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A D$ ；

(2)、设 $E$ 是 $B D$ 的中点，若直线 $C E$ 与平面 $A C D$ 的夹角为 $30^{°}$ ，求四面体 $A B C D$ 外接球的表面积.

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19. 已知过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点 $F$ 且倾斜角的 $60^{\circ}$ 直线l与抛物线E交于点 $M, N$ $Δ O M N$ 的面积为4．
（I）求抛物线E的方程；

（II）设P是直线 $y = - 2$ 上的一个动点，过P作抛物线E的切线，切点分别为 $A, B$ 直线 $A B$ 与直线 $O P, y$ 轴的交点分别为 $Q, R$ 点 $C, D$ 是以R为圆心 $R Q$ 为半径的圆上任意两点，求 $∠ C P D$ 最大时点P的坐标．

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20. 2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市 $($ 简称创文 $)$ ”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为： $①$ 调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分； $②$ 采用百分制评分， $[60 ， 80)$ 内认定为满意，80分及以上认定为非常满意； $③$ 市民对公交站点布局的满意率不低于 $60 %$ 即可进行验收； $④$ 用样本的频率代替概率．

(1)、求被调查者满意或非常满意该项目的频率；

(2)、若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；

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21. 设函数 $f (x) = a e^{x} - x \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，e是自然对数的底数.
（Ⅰ）若 $f (x)$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，求a的取值范围；

（Ⅱ）若 $a \geq \frac{2}{e^{2}}$ ，证明： $f (x) > 0$ .

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 经过点 $P (0, 1)$ ，倾斜角为 $\frac{π}{6}$ .在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的方程为 $ρ = 4 \sin θ$ .

(1)、写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于 $A 、 B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < | 2 x + 1 | - 1$ 的解集 $M$ ；

(2)、设 $a, b \in M$ ，证明： $f (a b) > f (a) - f (- b)$ .

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