安徽省池州市2020届高三下学期理数5月教学质量统一监测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，则 $z = \frac{4 + 3 i}{3 - 4 i}$ 在复平面内对应的点为（）

A、 $(0, i)$ B、 $(i, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 0)$

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2. 已知集合 $P = {x | y = \sqrt{2 - x^{2}}}$ ， $Q = {y | y = x^{2}}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $[0, \sqrt{2}]$ C、 ${1}$ D、 ${- 1, 1}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 4$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前n项和，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、12 C、14 D、16

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4. 若 $a = \frac{\ln 2}{2} ， b = \frac{\ln 3}{3} ， c = \frac{\ln 5}{5}$ ，则有（）．

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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5. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数 $y = 2 \sin \frac{π}{4} x$ 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{18}$

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6. 函数 $f (x) = x \ln \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M、N两社区需要招募义务宣传员，现有A、B、C、D、E、F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M、N两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且 $B$ 由于工作原因只能派往M社区，则不同的选派方案种数为（）

A、 60 B、90 C、120 D、150

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8. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，最初是由意大利数学家斐波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的．在斐波那契数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ．某同学设计了一个如图所示的求斐波那契数列前 $n$ 项和 $S$ 的程序框图，若 $S = 88$ ，那么内填入（）

A、 $i \leq 7$ B、 $i \leq 8$ C、 $i \leq 9$ D、 $i \leq 10$

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9. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点B使 $| A B | = \sqrt{2} | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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10. 已知 $M N$ 是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 4]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[1, 4]$ D、 $[1, 2]$

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11. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中，M、N分别是 $P C$ 、 $B C$ 中点， $A M ⊥ M N$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $9 \sqrt{3} π$ C、 $36 π$ D、 $36 \sqrt{3} π$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (- x) - 2 \sin x$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) + \cos x < 0$ ，则不等式 $f (x + \frac{π}{2}) > f (x) + \sin x - \cos x$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 通项公式 $a_{n} =$ ．

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14. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为512，则展开式中常数项为．

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15. 过双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的右支上一点P，分别向圆 $C_{1}$ ： ${(x + 7)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 ${| P M |}^{2} - {| P N |}^{2}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{π}{2}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 取值的个数有个．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 中点， $A C = 5$ ， $A D = 2$ ， $9 \cos^{2} ∠ A B D - 4 \cos^{2} ∠ A D B - 5 = 0$ ．
（Ⅰ）求 $\frac{\sin ∠ A B D}{\sin ∠ A D B}$ 及 $A B$ ；

（Ⅱ）求角 $C$ 的余弦值．

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18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $B C = 2$ ， $B B_{1} = 4$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ B C C_{1} = 60 °$ ．

（Ⅰ）求证：平面 $A_{1} C_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

（Ⅱ）若 $E$ 为 $C C_{1}$ 中点，求二面角 $A - E B_{1} - C_{1}$ 的正切值．

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19. 某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组： $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ ， $[100 ， 110)$ ， $[110 ， 120)$ ， $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ ，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差 $σ = 20$ ，以频率值作为概率估计值．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分 $\bar{x}$ 及众数 $y$ ；

（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间 $[100 ， 120)$ 内的个数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及数学期望 $E (Y)$ ；

（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为 $X$ ，依据以下不等式评判（ $P$ 表示对应事件的概率）：

① $P (μ - σ < X < μ + σ) \geq 0.6827$ ，② $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \geq 0.9545$ ，

③ $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \geq 0.9973$ ，其中 $μ = \bar{x}$ ．

评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？

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20. 如图，已知 $△ M F_{1} F_{2}$ 的两顶点坐标 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，圆E是 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆，在边 $M F_{1}$ ， $M F_{2}$ ， $F_{1} F_{2}$ 上的切点分别为 $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $| M P | = 1$ ．

（Ⅰ）求证： $| M F_{1} | + | M F_{2} |$ 为定值，并求出动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过 $F_{1}$ 的斜率不为零直线交曲线C于A、B两点，求证： $\frac{| F_{1} A | \cdot | F_{1} B |}{| A B |}$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x + 2$ ， $g (x) = (a - 1) \ln x$ ．
（Ⅰ）若 $a > 0$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + 3 \cos α \\ y = 1 + 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{6}) = 1$ ．
（Ⅰ）写出 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于M、N两点，点O为曲线 $C_{1}$ 上动点，当点P到曲线 $C_{2}$ 的距离最大时，求 $△ P M N$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | x + a | (a > 0)$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq a^{2} - a + \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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