安徽省蚌埠市2020届高三下学期理数第三次教学质量检查试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x < - 4}$ ，集合 $B = {x | x \leq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(0, 4)$

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2. 已知i为虚数单位，则复数 ${(2 - i)}^{2}$ 的共轭复数为（）

A、 $5 - 4 i$ B、 $5 + 4 i$ C、 $3 - 4 i$ D、 $3 + 4 i$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中，前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{10} - S_{3} = 42$ ，则 $a_{7}$ 的值是（）

A、3 B、6 C、7 D、9

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4. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（）

A、2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌 B、2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C、2019年我国居民每月消费价格逐月递增 D、2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降

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5. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = 0$ ，则 $| \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$

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7. 劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有6个班，李阿姨每周一到周五只有下午第2节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级6个班“缝纫体验课”的不同上课顺序有（）

A、600种 B、3600种 C、1200种 D、1800种

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8. 函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象是由函数 $g (x) = \cos (2 x - φ) (0 \leq φ \leq π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到，则下列是函数 $y = g (x)$ 的图象的对称轴方程的为（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = 0$

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线与椭圆在第一象限交点为P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则直线 $P F_{1}$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{7}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $y = x (1 - | x |)$ B、 $y = \frac{x}{4} \cos (\frac{π}{2} x)$ C、 $y = \frac{x}{4} \sin (π x)$ D、 $y = | x | (1 - x) (x + 1)$

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11. 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有 $80 %$ 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率 $p_{n}$ ，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② $p_{3} = 0.68$ ；③ $p_{n} = 0.2 p_{n - 1} + 0.8 (1 - p_{n - 1}) (n \geq 2, n \in N)$ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 $\frac{25}{2} n + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} {(- \frac{3}{5})}^{n}$ .其中正确的是（）

A、②④ B、①②③ C、③④ D、②③④

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x - 1}} + x - \ln (a x) - 2 (a > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内存在零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， e]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知命题 $p : \exists x \in R$ ，使得 $\cos^{2} x + \sin x + 1 > m$ ，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - \frac{1}{2}, x < 1 \\ \log_{2} (x + \frac{1}{2}), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则a=.

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15. 已知 $(x + \frac{1}{x}) {(2 x + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是.

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16. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个直角 $△ O A_{1} A_{2}$ 是等腰三角形，且 $A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{n} A_{n + 1} = 1$ ，则， $O A_{2} = \sqrt{2} ， O A_{3} = \sqrt{3} ， \dots O A_{n} = \sqrt{n}$ ，现将 $△ O A_{1} A_{2}$ 沿 $O A_{2}$ 翻折成 $△ O P A_{2}$ ，则当四面体 $O P A_{2} A_{3}$ 体积最大时，它的表面有个直角三角形；当 $P A_{3} = 1$ 时，四面体 $O P A_{2} A_{3}$ 外接球的体积为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $c \sin A = 4 \sin B - \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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18. 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世——蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.

参考答案： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；

(2)、该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；

(3)、已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.

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19. 如图四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = A B = 2 B C$ ，M为 $A_{1} D$ 的中点.

(1)、证明： $C M / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 是菱形，且面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 面 $A B C D$ ， $∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ，求二面角 $A_{1} - C M - A$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $y = k x + 2$ 与抛物线C交于A，B两点，若 $k = 1$ ，则 $| B F | - | A F | = 4 \sqrt{3}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、分别过点A，B作抛物线C的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交x轴于点M，N，求四边形 $A B N M$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

(1)、分析函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n - 1}) \ln 3 \leq \ln (\frac{n^{2} + n}{2})$ ， $n \geq 2$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （其中t为参数， $\frac{3 π}{4} \leq α < π$ ）.在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 $ρ \cos 2 θ = 2 \cos θ - 2 ρ \sin 2 θ$ .设直线l与曲线C相交于A，B两点.

(1)、求曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x |$ ， $x \in R$ .

(1)、若不等式 $f (x) \geq m^{2}$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、若（1）中实数m的最大值为t，且 $a + b + c = t$ （a，b，c均为正实数）.证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9$ .

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