安徽省安庆市2020届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x + 1 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 5 x - 6 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 1, 6)$

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足 $(1 + i^{3}) z = 2$ ，则下列判断正确的是（）

A、z的虚部为i B、 $| z | = 2$ C、 $z \cdot \bar{z} = 2$ D、 $z^{2} = 2$

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3. 设p： $0 < \log_{2} x < 1$ ，q： $2^{x} > 1$ ，则p是q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{x \sin x}{x^{2} - 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{3} a_{6} = 2 a_{5}^{2}$ ， $S_{4} = \frac{15}{2}$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、32 D、40

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6. 改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了1983~2017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误的是（）

A、农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B、农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C、2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快 D、2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率

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7. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 2 A D = 4$ ，E，F分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，将四边形 $A E F D$ 沿 $E F$ 折起，使 $∠ A E B = 120^{\circ}$ ，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π$ B、 $5 π$ C、 $10 π$ D、 $20 π$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，若将其图象沿x轴向右平移m（ $m > 0$ ）个单位，所得图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则实数m的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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9. 今年（2020年）是闰年.如图所示是判断2000~3000（包括2000，但不包括3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在2000~3000年中年份是闰年的个数是（）

A、241 B、242 C、243 D、244

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10. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆 ${(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{p^{2}}{4}$ 的切线，切点分别为点A，B.若 $| A B | = \sqrt{3}$ ，则p的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11. 棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P，Q分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $B C$ 的中点，现有下列结论：① $P Q // B D_{1}$ ；② $P Q //$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；③ $P Q ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；④四面体 $D_{1} - P Q B$ 的体积等于 $\frac{1}{24}$ .其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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12. 函数 $f (x) = | \ln x | - a x$ 恰有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1}$ 所在区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e^{3}})$ B、 $(\frac{1}{e^{3}} ， \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + 2 a_{16} < a_{1} < 3 a_{11}$ ， $S_{n}$ 是其前n项和，则使 $S_{n}$ 取最大值的n的值为.

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15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图，若点C为线段 $A B$ 的三等分点且 $A C = 2 C B$ ，分别以线段 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 为直径且在 $A B$ 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以 $A B$ 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为.

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线C的一条渐近线方程记为 $y = \tan α \cdot x$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ），直线l： $y = \tan \frac{α}{2} \cdot x$ 与双曲线C在第一象限交于点P，若 $O P ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线C的离心率为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\frac{b + c}{a + c} = \frac{\sin A}{\sin B - \sin C}$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长等于15，面积等于 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求a，b，c的值.

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，E是线段 $A D$ 的中点， $∠ A B D = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $A B = B D$ ， $B C = D C = E C$ .

(1)、证明： $B D ⊥ E C$ ；

(2)、求平面 $B E C$ 与平面 $D E C$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

(1)、从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在 $[3 ， 4)$ （单位： $kg$ ）的概率是多少？

②若抽取的5户中购买量在 $[3 ， 6]$ （单位： $kg$ ）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在 $[3 ， 6]$ （单位： $kg$ ）的户数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和期望；

(2)、将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 $0.5 kg$ 时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和点 $B (x_{2}, y_{2})$ （ $y_{1} y_{2} \neq 0$ ）.当直线 $A B$ 与x轴垂直时， $| A B | = 3$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线l： $x = 2 a$ 交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C．求证：直线 $A C$ 过线段 $F G$ 的中点.

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21. 已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $| \frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} | > m x_{1} x_{2}$ ，求实数m的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为 $ρ - 4 \sin θ = 0$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ ，（t为参数）.

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点， $M (0, 1)$ ，且 $| M A | > | M B |$ ，求 $\frac{1}{| M A |} - \frac{1}{| M B |}$ 值.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ .

(1)、若对于任意的正数a，b，不等式 $| 2 x - 1 | \leq \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 恒成立，求实数x的取值范围；

(2)、证明： $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{5} + b^{5}) \geq 1$ .

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