安徽省“江南十校”2020届高三下学期理数4月综合素质检测试卷

试卷更新日期：2020-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 - a) + (a^{2} - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位， $a > 1$ ），则z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | 3 x < x + 4}, B = {x | x^{2} - 8 x + 7 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(2, 7)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, 2)$

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3. 某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）

A、58厘米 B、63厘米 C、69厘米 D、76厘米

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4. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $(1 + a x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}, x^{3}$ 的系数之和为-10，则实数a的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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6. 已知 $a = \log_{3} \sqrt{2}$ ， $b = \ln 3$ ， $c = 2^{- 0.99}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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7. 执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{23}{60}$ C、 $\frac{11}{20}$ D、 $\frac{43}{60}$

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8. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}, S_{2} = \frac{1}{9}, S_{3} = \frac{7}{27}$ ，则 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 的最小值为（）

A、 ${(\frac{4}{27})}^{2}$ B、 ${(\frac{4}{27})}^{3}$ C、 ${(\frac{4}{27})}^{4}$ D、 ${(\frac{4}{27})}^{5}$

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10. 已知点 $P$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0, c = \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 上一点，若点p到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离之积为 $\frac{1}{4} c^{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 已知 $f (x) = 1 - 2 \cos^{2} (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ .给出下列判断：
①若 $f (x_{1}) = 1 ， f (x_{2}) = - 1$ ，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = π$ ，则 $ω = 2$ ；②存在 $ω \in (0 ， 2)$ 使得 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称；③若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有7个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{41}{24} ， \frac{47}{24})$ ；

④若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{2}{3}]$ .

其中，判断正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，满足 $A B = B C ， C D = A D$ ，且 $A B + A D = 10 ， B D = 8$ ，沿着 $B D$ 把 $A B D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且使 $P C = 2$ ，则三棱锥 $P - B C D$ 体积的最大值为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 若 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - a \sqrt{x_{0}^{2} + 1} + 5 < 0$ 为假，则实数a的取值范围为.

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15. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 1)$ 和点 $B (- 3, 4)$ ，若点C在 $∠ A O B$ 的平分线上，且 $| \vec{O C} | = 3 \sqrt{10}$ ，则向量 $\vec{O C}$ 的坐标为.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，点 $P$ 为抛物线C上一动点，过点P作圆 $M ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，则线段 $A B$ 长度的取值范围为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \sin B = b \sin (\frac{π}{3} - C) + \sqrt{3} b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}, a + b = 3$ ，求 $A B$ 边上的高.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B // C D ， C D = 2 A B = 4 ， A D = \sqrt{2}$ ， $△ P A B$ 为等腰直角三角形， $P A = P B$ ，平面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ，E为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A E //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $E B C$ 与平面 $P A D$ 的交线为 $l$ ，求二面角 $P - l - B$ 的正弦值.

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19. 一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

(1)、设抛掷4次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望.

(2)、当游戏得分为 $n (n \in N^{*})$ 时，游戏停止，记得 $n$ 分的概率和为 $Q_{n}, Q_{1} = \frac{1}{2}$ .
①求 $Q_{2}$ ；

②当 $n \in N^{*}$ 时，记 $A_{n} = Q_{n + 1} + \frac{1}{2} Q_{n}, B_{n} = Q_{n + 1} - Q_{n}$ ，证明：数列 ${A_{n}}$ 为常数列，数列 ${B_{n}}$ 为等比数列.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{7}}{2} ， \frac{3}{4})$ ，点P在第一象限， $A$ 为左顶点， $B$ 为下顶点， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ， $P B$ 交x轴于点D.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若 $C D // A B$ ，求点P的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，当 $a$ 变化时，点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 构成曲线 $M$ ，证明：过原点的任意直线 $y = k x$ 与曲线M有且仅有一个公共点.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - m \\ y = k (m - 1) \end{array}$ 为参数)，直线 $l_{2}$ 的参数方程 ${\begin{array}{l} x = n \\ y = 2 + \frac{n}{k} \end{array}$ (为参数)，若直线 $l_{1}, l_{2}$ 的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C

(1)、求曲线C的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线 $l_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α (ρ ⩾ 0)$ ， $\tan α = \frac{4}{3} (0 < α < \frac{π}{2})$ ，点 $Q$ 为射线 $l_{3}$ 与曲线C的交点，求点Q的极径.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < x + 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $m - x^{2} - 2 x ⩽ f (x)$ 在R上恒成立，求实数m的取值范围.

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