新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-06-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在△ABC中，若 $a = 2, b = \sqrt{2}, A = \frac{π}{4}$ ，则B=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则 $a_{10} = ($ $)$

A、100 B、110 C、120 D、130

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3. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 3$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{6}{b}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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4. 在 $Δ A B C$ ，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 1, b = 2, c = 2$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{9} = 12$ ， $a_{4} = 3$ ，则 $a_{7} = ($ $)$

A、8 B、9 C、11 D、12

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6. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ 3 x - y + 1 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ 则z=2x+y的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 在 $3$ 与9之间插入2个数，使这四个数成等比数列，则插入的这2个数之积为（）

A、 $3$ B、6 C、9 D、27

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8. 若 $0 < a < 1$ ，则不等式 $(x - a) (x - \frac{1}{a}) > 0$ 的解集是（）

A、 ${x | a < x < \frac{1}{a}}$ B、 ${x | \frac{1}{a} < x < a}$ C、 ${x | x < a 或 x > \frac{1}{a}}$ D、 ${x | x < \frac{1}{a} 或 x > a}$

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9. 已知数列 $1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{5} ， \sqrt{7} ， \dots ， \sqrt{2n-1}$ ，则 $3 \sqrt{5}$ 是这个数列的第（）项

A、20 B、21 C、22 D、23

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c ， a = 3 ， c = 2 \sqrt{3} ， b sin A =$ $a cos (B + \frac{π}{6}) ，则 b =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ .的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ，且 $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{S_{5}}{a_{5}} =$ （）

A、256 B、255 C、16 D、31

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边， $A = 60^{\circ}, b = 1$ ，这个三角形的面积为 $\sqrt{3}$ ，则a=（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，如果 $(a + c) (a - c) = b (b - c)$ ，则 $A =$ .

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{15} =$ ．

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15. 已知A船在灯塔C东偏北10°处，且A到C的距离为 $2 k m$ ，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为 $3 k m$ ，则B到C的距离为 $k m$ ．

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16. 已知 $- 1 \leq x + y \leq 1$ ， $1 \leq x - y \leq 3$ ，则 $3 x - y$ 的取值范围是

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三、解答题

17. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏．围栏一边靠墙，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？此时利用墙多长？

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N *)$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上
(Ⅰ)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $b sin A = \sqrt{3} a cos B$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $S_{n} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.
（Ⅰ）试求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = \frac{n}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，试求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和公式 $T_{n}$ ；

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21. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $4 \sin^{2} \frac{A - B}{2} + 4 \sin A \sin B = 2 + \sqrt{2}$

(1)、求角C的大小；

(2)、已知 $b = 4$ ， $Δ A B C$ 的面积为6，求边长 $c$ 的值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ ， $a_{1} = 3$ .

(1)、设数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{n} - n$ ，求证:数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式和前n项和 $S_{n}$ .

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