天津市红桥区2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-06-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在复平面内表示复数 $i (1 - i)$ 的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $(1 + a i) (2 - i)$ 是纯虚数，则实数a等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(5, 7)$ B、 $(5, 9)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(3, 9)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (m, 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m=（）

A、2 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、- 2 D、0

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5. 已知 $i$ 是虚数单位， $a, b \in R$ ， $a + b i = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $a - b$ 等于（）

A、-1 B、1 C、3 D、4

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6. 若 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{3 i - 1}{1 + i}$ 的模是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、5 D、 $\sqrt{2}$

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7. 复数 $z$ 满足 $z - 1 = (z + 1) i$ ，则 $\bar{z}$ 的值是（）

A、1+i B、1-i C、i D、-i

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $(2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) \cdot \overset{⇀}{a}$ ＝（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9. 已知点 $A (- 1 ， 2) ， B (3 ， - 6)$ ，则线段AB的中点坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, - 2)$

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10. 设向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (2, - 2)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、±1 B、0 C、 $\pm \sqrt{2}$ D、±2

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11. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} =(0，2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12. 已知 $z_{1} = \frac{3}{2} (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}), z_{2} = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、i B、2i C、 $2 \sqrt{2} i$ D、3i

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位，则 $\frac{2}{1 + i} =$ ．

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14. $i$ 是虚数单位，则复数 $i (1 + i)$ 的实部为．

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15. 计算： $\vec{Q P} + \vec{N Q} + \vec{M N} - \vec{M P} =$ ．

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16. 已知 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 4$ ，且向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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17. 已知 $A (- 1 ， 2) 、 B (2 ， 0) 、 C (x ， 3)$ ，且 $A 、 B 、 C$ 三点共线，则x= ．

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18. 若向量 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 2, (\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的度数为．

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19. 已知 $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位．若 $a - i$ 与 $2 + b i$ 互为共轭复数，则 ${(a + b i)}^{2} =$ ．

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20. 在平行四边形ABCD中，若 $\vec{A B} = (1, 3), \vec{A C} = (2, 5)$ ，则向量 $\vec{A D}$ 的坐标为．

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三、解答题

21. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i, m \in R$ ．
（Ⅰ）当复数z为实数时，求m的值；

（Ⅱ）当复数z为虚数时，求m的值；

（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，求m的值．

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22. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 5, c = 6, \cos B = \frac{4}{5}$ ．
（Ⅰ）求b和 $s i n A$ 的值；

（Ⅱ）求 $\cos (A + \frac{π}{4})$ 的值．

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23. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $b = 3, c = 4, C = 2 B$ ．
（Ⅰ）求 $c o s B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B - \frac{π}{3})$ 的值．

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24. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a = \sqrt{3} b \sin A - a \cos B$ ．
（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a, c$ ．

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