四川省成都市2019-2020学年高一下学期数学期中（线上测试)试卷

试卷更新日期：2020-06-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sin 15^{°} \cos 15^{°}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 不等式 $3 + 5 x - 2 x^{2} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, - 3) \cup^{} (\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 3)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup^{} (3, + \infty)$

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3. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{4} + a_{9} = 10$ ，则 $S_{12}$ 等于（）

A、30 B、45 C、60 D、120

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4. 已知sin $(\frac{π}{2} - α)$ ＝ $\frac{3}{5}$ ，则cos (π＋α)的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、－ $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、－ $\frac{3}{5}$

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5. 若 $a > b > 0, c > d > 0$ ，则一定有（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ B、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 2 b \cos C$ ，则这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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7. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得 $A C = 60 m$ ，塔顶B的仰角 $45^{\circ}$ ，塔底 $C$ 的仰角 $15^{\circ}$ ，则井架的高BC为（）

A、 $20 \sqrt{2} m$ B、 $30 \sqrt{2} m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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8. 已知 $x, y \in (0, + \infty)$ ,且满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} = 1$ ,那么 $x + 4 y$ 的最小值为（）

A、 $3 - \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{5} = \frac{1}{2}, 4 a_{3} + a_{7} = 2$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $8$ C、 $\frac{1}{8}$ D、2

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10. 已知 $\sin α - 2 \cos α = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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11. 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且BC边上的高为 $\frac{a}{2}$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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12. 给出以下三个结论：
①若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 3^{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则其通项公式为 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ ；②已知 $a > b$ ，一元二次不等式 $a x^{2} + 2 x + b \geq 0$ 对于一切实数 $x$ 恒成立，又存在 $x_{0} \in R$ ，使 $a x_{0}^{2} + 2 x_{0} + b = 0$ 成立，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ；③若正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y + 4 = 4 x y$ ，且不等式 $(x + 2 y) a^{2} + 2 a + 2 x y - 34 \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{5}{2}, + \infty)$ .其中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a = 3 ， c = 1$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则b的值为；

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14. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，则其通项公式 $a_{n}$ =；

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15. 已知 $0 < α < \frac{3 π}{4}$ ,且 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ ；

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16. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数 $x, y$ 满足： $f (2) = 2, f (x y) = x f (y) + y f (x)$ , $a_{n} = \frac{f (2^{n})}{2^{n}} (n \in$ $N^{*})$ , $b_{n} = \frac{f (2^{n})}{n} (n \in N^{*})$ 考查下列结论：① $f (1) = 1$ ；② $f (x)$ 为奇函数；③数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；④数列 ${b_{n}}$ 为等比数列.
以上结论正确的是．

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三、解答题

17. 已知不等式 $a x^{2} + x + c > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 3}$ ．

(1)、求实数a，c的值；

(2)、若不等式 $a x^{2} + 2 x + 4 c > 0$ 的解集为A，不等式 $3 a x + c m < 0$ 的解集为B，且 $A \subseteq B$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为 $Δ A B C$ 的三内角，且其对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\cos B \cos C - \sin B \sin C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3} ， b + c = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{4} = 24, S_{7} = 63$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3} \sin \frac{x}{4} ， 1) ， \overset{⇀}{n} = (\cos \frac{x}{4} ， \cos^{2} \frac{x}{4})$ ，若 $f (x) = \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 递增区间；

(2)、 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ ，求 $f (A)$ 的取值范围．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且对任意正整数n，满足 $2 a_{n + 1} + S_{n} - 2 = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足： $a_{n} + b_{n} = 1,$ $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{(1 - a_{n}) (1 + a_{n})}$ ，且 $a_{1}, b_{1}$ 是函数 $f (x) = 16 x^{2} - 16 x + 3$ 的零点 $(a_{1} < b_{1})$ ．

(1)、求 $a_{1}, b_{1}, b_{2}$ ；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{b_{n} - 1}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{n} a_{n + 1}$ ，不等式 $4 a S_{n} < b_{n}$ 恒成立时，求实数 $a$ 的取值范围．

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