北京理工附中2020年中考数学三模试卷

试卷更新日期：2020-06-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2019年10月1日，约120 000名群众观看了天安门广场的升旗仪式．将120 000用科学记数法表示应为（）

A、 $12 \times 10^{4}$ B、 $1.2 \times 10^{5}$ C、 $1.2 \times 10^{4}$ D、 $0.12 \times 10^{6}$

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2. 下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 六边形的外角和是（）

A、360° B、540° C、720° D、900°

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4. 下列几何体中，主视图和左视图完全相同的图形的有几个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 5$

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6. 如图，直线 $A B / / C D$ 直线 $E F$ 分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ ， $F P ⊥ E F$ ，且与 $∠ B E F$ 的平分线交于 $P$ ，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ P$ 的度数是（）

A、35° B、30° C、55° D、20°

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7. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结品，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（）

A、惊蛰 B、立夏 C、夏至 D、大寒

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8. 图1是2020年3月26日全国新冠疫情数据表，图2是3月28日海外各国疫情统计表，图3是中国和海外的病死率趋势对比图，根据这些图表，选出下列说法中错误的一项（）

A、图1显示每天现有确诊数的增加量=累计确诊增加量-治愈人数增加量-死亡人数增加量． B、图2显示美国累计确诊人数虽然约是德国的两倍，但每百万人口的确诊人数大约只有德国的一半． C、图2显示意大利当前的治愈率高于西班牙． D、图3显示大约从3月16日开始海外的病死率开始高于中国的病死率

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二、填空题

9. 分解因式： $a b^{3} + a b^{2} - 2 a b =$ ．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $(- 2 ， 3)$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转90°，所得到的对应点的坐标为．

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11. 已知函数满足下列两个条件：①当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；②它的图象经过坐标原点，请写出一个符合上述条件的函数的表达式．

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12. 如图， $A B$ ， $C D$ 相交于 $O$ 点， $Δ A O C \sim Δ B O D$ ， $O C ： C D = 1 ： 3$ ， $A C = 2$ ，则 $B D$ 的长为．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 2)$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与线段 $A B$ 无公共点，则 $k$ 的取值范围是．

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14. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
⑴在直线l上任取一点B；
⑵以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；
⑶分别以A，C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；
⑷作直线AD．直线AD即为所求．
小云作图的依据是．

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15. 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同．

商品顾客人数	甲	乙	丙	丁
100	√	×	√	√
217	×	√	×	√
200	√	√	√	×
300	√	×	√	×
85	√	×	×	×
98	×	√	×	×

(1)、估计顾客同时购买乙和丙的概率为．

(2)、如果顾客购买了甲，并且同时也在乙、丙、丁中进行了选购，则购买（填乙、丙、丁）商品的可能性最大．

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16. 上图为2009年到2015年中关村国家自主创新示范区企业经营技术收入的统计图．
下面四个推断：

①2009年到2015年技术收入持续增长；

②2009年到2015年技术收入的中位数是3403亿；

③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年；

④2009年到2011年的技术收入平均增长率比2013年到2015年技术收入平均增长率大．

其中，正确的是．

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三、解答题

17. 计算： ${(- 1)}^{2020} - 3 \tan 30 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 2} - | \sqrt{3} - 2 | + {(2020 - π)}^{0}$

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18. 先化简： $(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - x} + \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，再从 $- 1 \leq x \leq 3$ 的整数中选取一个你喜欢的 $x$ 的值代入求值．

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19. 如图所示， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足为 $F$ ，且 $B D = C D$ ．
求证： $A B + C F = A E$ ．

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + m - 2 = 0$ ．

(1)、若该方程有两个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围：

(2)、当该方程的一个根为-3时，求 $m$ 的值及方程的另一根．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 的垂直平分线 $M N$ 与 $A D$ 相交于点 $M$ ，与 $B C$ 相交于点 $N$ ．连接 $B M$ ， $D N$ ．

(1)、求证：四边形 $B M D N$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，求 $M D$ 的长．

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22. 小辉为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住在小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．

小辉发现每月每户的用水量在 $5 m^{3} - 35 m^{3}$ 之间，有7户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不用考虑用水方式的改变．根据小军绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：

(1)、 $n =$ ，小明调查了户居民，并补全图1；

(2)、每月每户用水量的中位数落在之间，众数落在之间；

(3)、如果小明所在的小区有1200户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数多少?

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23. 如图，已知 $Δ A B C$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为弧 $A D$ 的中点，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．且 $B F = B C$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $\cos B = \frac{3}{5}$ ，求 $C E$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象 $G$ 经过点 $A$ （4，1），直线 $l ∶ y = \frac{1}{4} x + b$ 与图象 $G$ 交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 $G$ 在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $O A$ ， $O C$ ， $B C$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．
①当 $b = - 1$ 时，直接写出区域 $W$ 内的整点个数；
②若区域 $W$ 内恰有4个整点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $C D - A D = 1$ ，为了研究图中线段之间的关系，设 $C D = x$ ， $B D = y$ ，

(1)、可通过证明 $△ A C D \sim △ C B D$ ，得到 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式 $y =$ ，其中自变量 $x$ 的取值范围是；

(2)、根据图中给出的（1）中函数图象上的点，画出该函数的图象；

(3)、借助函数图象，回答下列问题：① $B D$ 的最小值是；②已知当 $A B + C D = k$ 时， $R t △ A B C$ 的形状与大小唯一确定，借助函数图象给出 $k$ 的一个估计值（精确到0.1）或者借助计算给出 $k$ 的精确值．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 b x - 3 b^{2} + 2$ 与 $y = 2$ 交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移某个距离得到点 $B$ ，点 $B$ 在抛物线上．已知点 $P (- b - 1 ， 2)$ ， $Q (2 b ， 2 - 2 b^{2})$ ．

(1)、当 $b < 0$ 时．
①求点 $A$ 的坐标（用含 $b$ 的式子表示）；

②求线段 $B P$ 的长度；

(2)、若抛物线与线段 $P Q$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围．

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27. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ． $∠ B A C < 60 °$ ．将 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转60°到点 $D$ ，点 $E$ 与点 $D$ 关于直线 $B C$ 对称，连接 $B D$ ， $B E$ ， $D E$ ．

(1)、依题意补全图形：

(2)、判断 $Δ B D E$ 的形状，并证明你的结论；

(3)、请问在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ．使得 $P A - P C = B D$ 恒成立若存在，请用文字描述出点 $P$ 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．

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28. 对于平面内的点 $M$ 和点 $N$ ，给出如下定义：点 $P$ 为平面内一点，若点 $P$ 使得 $Δ P M N$ 是以 $∠ M$ 为顶角且 $∠ M$ 小于90°的等腰三角形，则称点 $P$ 是点 $M$ 关于点 $N$ 的锐角等腰点．如图，点 $P$ 是点 $M$ 关于点 $N$ 的锐角等腰点．

在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点

(1)、已知点 $A (2 ， 0)$ ，在点 $P_{1} (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ， $P_{2} (0 ， 2)$ ， $P_{3} (1 ， - 3)$ ， $P_{4} (- 1 ， - 1)$ 中，是点 $O$ 关于点 $A$ 的锐角等腰点的是；

(2)、已知点 $A_{4} (\sqrt{5} ， 0)$ ，点 $C$ 在直线 $y = - 2 x + b$ 上，若点 $C$ 是点 $A$ 关于点 $O$ 的锐角等腰点，求实数 $b$ 的取值范围．

(3)、点 $D$ 是 $x$ 轴上的动点， $D (t ， 0)$ ， $E (t + 2 ， 0)$ ，点 $F (m ， n)$ 是以点 $D$ 为圆心，2为半径的圆上一动点．且满足 $n \geq 0$ ，若直线 $y = - 2 x + 4$ 上存在点 $E$ 关于点 $F$ 的锐角等腰点，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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