湖北省武汉市江岸区2019-2020学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-06-05 类型：期中考试

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一、选择题

1. 要使二次根式 $\sqrt{3 + x}$ 有意义，x的取值范围是（）

A、x≠－3 B、x≥3 C、x≤－3 D、x≥－3

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2. 下列根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{1.5}$ D、 $\sqrt{40}$

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3. 以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）

A、2、3、4 B、1、1、 $\sqrt{2}$ C、3、4、5 D、5、12、13

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 2 = \sqrt{6}$

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5. 正方形有而矩形不一定有的性质是（）

A、四个角都是直角 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直

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6. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、同旁内角互补，两直线平行 B、等边三角形是锐角三角形 C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D、全等三角形的对应角相等

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 8$ ， $D B = 6$ ， $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ .则 $D H =$ （）

A、6 B、 $\frac{24}{5}$ C、 $\frac{48}{5}$ D、5

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8. 如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺

A、10 B、12 C、13 D、14

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9. 如图，四边形 $A E F D$ 和 $E B C F$ 都是平行四边形，过点 $E$ 作直线交边 $A D$ 于点 $M$ ，交边 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $M F$ ， $N F$ .若 $A E F D$ 和 $E B C F$ 的面积分别为4和6，则 $Δ M N F$ 的面积为（）

A、5 B、5.5 C、6 D、8

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10. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A E = A B$ ， $D$ 为线段 $A E$ 的中点，若 $∠ E D B = ∠ C A B$ ， $D B = 3 \sqrt{2}$ ，则 $A E =$ （）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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二、填空题

11. $\sqrt{500} =$ .

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12. 使 $\sqrt{12 n}$ 是整数的最小正整数n= ．

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13. 在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A C = 2$ ，斜边 $A B$ 的长为.

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A O B E$ 为矩形， $O$ ， $C$ ， $D$ 三点的坐标为 $(0 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ， $(0 ， 1)$ ，则点 $E$ 的坐标为.

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为线段 $C D$ 的中点， $A D = 1$ ， $C B = 2$ ， $A E = 3$ ，则 $A B =$ .

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $A (4 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (4 ， 4)$ ， $D (- 2 ， 6)$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴上，满足 $∠ B E D = ∠ D E C$ ，则点 $E$ 的坐标为.

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三、解答题

17. 计算： $(\sqrt{80} + \sqrt{40}) \div \sqrt{5}$ .

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18. 如图平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，E.F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形

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19. 已知 $x = \sqrt{3} + 1 ， y = \sqrt{3} - 1 ，$ 求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - y^{2}$ .

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20. 如图，一架 $2.5 m$ 长的梯子 $A B$ 斜靠在一竖直墙 $A O$ 上，这时 $A O$ 为 $2.4 m$ .

(1)、求 $O B$ 的长度；

(2)、如果梯子底端 $B$ 沿地面向外移动 $0.8 m$ 到达点 $C$ ，那么梯子顶端 $A$ 下移多少 $m$ ？

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21. 如图，是由49个边长为1的小正方形组成的7×7的正方形网格，小正方形的顶点为格点，点 $O$ 、 $A$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $B$ 均在格点上.

(1)、直接写出 $O M =$ ；

(2)、点 $E$ 在网格中的格点上，且 $Δ O M E$ 是以 $O$ 为顶角顶点的等腰三角形，则满足条件的点 $E$ 有个；

(3)、请在如图所示的网格中，借助矩形 $M N B A$ 和无刻度的直尺作出 $∠ M O N$ 的角平分线，并保留作图痕迹.

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22. 小明在学完了平行四边形这个章节后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形 $A B C D$ 和平行四边形 $H E F G$ （如图1），且 $B C$ ， $E F$ 在一条直线上，点 $D$ 落在边 $H E$ 上.经小明测量，发现此时 $B$ 、 $D$ 、 $G$ 三个点在一条直线上， $∠ F = 67.5 °$ ， $D G = 2$ .

(1)、求 $H G$ 的长度；

(2)、设 $B C$ 的长度为 $a$ ， $C E =$ （用含 $a$ 的代数式表示）；

(3)、小明接着探究，在保证 $B C$ ， $E F$ 位置不变的前提条件下，从点 $A$ 向右推动正方形，直到四边形 $E F G H$ 刚好变为矩形时停止推动（如图2）.若此时 $D E^{2} = 8 (\sqrt{2} - 1)$ ，求 $B F$ 的长度.

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23. 矩形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $∠ M O N = α$ .

(1)、如图1， $A D = D C$ ， $α = 90 °$ ，点 $M$ 在边 $A D$ 上，点 $N$ 在边 $C D$ 上，求证： $M O = O N$ ；

(2)、如图2， $∠ A C D = 30 °$ ， $α = 60 °$ ，点 $M$ 在线段 $A D$ 的延长线上，点 $N$ 在线段 $C D$ 的延长线上，若 $O M = O N$ ，求 $\frac{D M}{D N}$ 的值；

(3)、如图3， $A D = 6$ ， $D C = 8$ ， $α = 45 °$ ，点 $M$ 在线段 $A D$ 的延长线上，点 $N$ 在线段 $C D$ 的延长线上，若 $D M = D N$ ，直接写出线段 $O N$ 的长度.

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24.

(1)、问题背景：如图1，两条相等的线段 $A B$ ， $C D$ 交于点 $O$ ， $∠ A O C = 60 °$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，求证： $A C + B D \geq C D$ .
证明：过点 $C$ 作 $A B$ 的平行线，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线，两平行线交于点 $E$ ，连接 $D E$ .

∵ $A B // C E$ ， $A C // B E$ .

∴四边形 $A B E C$ 为平行四边形，则 $A C =$ ， $A B = C E$ .

∵ $A B // C E$ ，∴ $∠ D C E = ∠ A O C = 60 °$

又∵ $C D = A B = C E$ ，∴ $Δ D C E$ 为等边三角形， $C D =$ .

∴ $A C + B D = B E + B D \geq D E = C D$ ，即 $A C + B D \geq C D$ .

请完成证明中的两个填空.

(2)、迁移应用：如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $M$ 在边 $A B$ 上，点 $N$ 在边 $C D$ 上，点 $O$ 在 $M N$ 上，过点 $O$ 作 $M N$ 的垂线，交 $A D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ .
求证：① $M N = E F$ ；② $F M + N E \geq 4 \sqrt{2}$ .

(3)、联系拓展：如图3， $Δ A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线 $l$ ，点 $D$ 在直线 $l$ 上，点 $A$ 到 $B D$ 的距离为2，求线段 $C D$ 的最小值.

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