北京市西城区2018-2019学年七年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-06-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 点 $P (- 6, 6)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列各数中的无理数是（）

A、 $6. \overset{•}{2}$ B、 $\frac{11}{9}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $π - 3.14$

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3. 不等式组 ${\begin{matrix} x < 2 \\ x \geq - 5 \end{matrix}$ 的解集是（）

A、 $x < 2$ B、 $x \geq - 5$ C、 $- 5 < x < 2$ D、 $- 5 \leq x < 2$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} • a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 ${(- 2 a b)}^{3} = - 8 a^{3} b$

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5. 若 $a < b$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a + 4 < b + 4$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $\frac{1}{2} a > \frac{1}{2} b$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $E$ 为 $A C$ 边上一点，若 $∠ 1 = 20^{\circ}$ ， $∠ C = 60^{\circ}$ ，则 $∠ A E B$ 等于（）

A、 $90^{\circ}$ B、 $80^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $50^{\circ}$

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7. 下列命题正确的是（）

A、相等的两个角一定是对顶角 B、两条平行线被第三条直线所截，内错角互补 C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

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8. 某超市开展“六一节”促销活动，一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠，小红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买多少支钢笔才能享受打折优惠？设买 $x$ 支钢笔才能享受打折优惠，那么以下正确的是（）

A、 $15 \times 6 + 8 x > 200$ B、 $15 \times 6 + 8 x = 200$ C、 $15 \times 8 + 6 x > 200$ D、 $15 \times 6 + 8 x \geq 200$

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9. 小何所在年级准备开展参观北京故宫博物院的实践活动，他和他选修的“博物馆课程”小组成员共同为同学们推荐了一条“古建之美”线路：行走在对公众开放的古老城墙之上，观“营造之道——紫禁城建筑艺术展”，赏数字影视作品《角楼》，品“古建中的数学之美”.在故宫导览图中建立如图所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，午门的坐标为 $(0 ， - 3)$ ，那么以下关于古建馆的这条参观线路“从午门途经东南角楼到达东华门展厅”的说法中，正确的是（）

A、沿 $(0 ， - 3) \to (- 3 ， - 3) \to (- 3 ， - 2)$ 到达东华门展厅 B、沿 $(0 ， - 3) \to (2 ， - 3) \to (2 ， - 2) \to (3 ， - 2)$ 到达东华门展厅 C、沿 $(0 ， - 3) \to (0 ， - 2) \to (3 ， - 2)$ 到达东华门展厅需要走4个单位长度 D、沿 $(0 ， - 3) \to (3 ， - 3) \to (3 ， - 2)$ 到达东华门展厅需要走4个单位长度

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ， $C (2 ， 3)$ ， $D (- 2 ， 4)$ ， $E (3 ， 5)$ ， $F (- 3 ， 6)$ ，按照 $A \to B \to C \to D \to E \to F$ 的顺序，分别将这六个点的横、纵坐标依次循环排列下去，形成一组数1，1，-1，2，2，3，-2，4，3，5，-3，6，1，1，-1，2，…，第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，…，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ （ $n$ 为正整数），那么 $a_{9} + a_{11}$ 和 $a_{2022}$ 的值分别为（）

A、0，3 B、0，2 C、6，3 D、6，2

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二、填空题

11. 49的平方根是．

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12. 计算： $\sqrt[3]{8} + {(- \sqrt{3})}^{2} =$ ．

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13. 计算： $3 a (2 a - 1) + 2 a b^{3} \div b^{3} =$ ．

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14. 下列各组数：①2，3，4；②2，3，5；③2，3，7；④3，3，3，其中能作为三角形的三边长的是（填写所有正确的序号）.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A ， B ， C$ 三点的坐标如图所示，那么点 $A$ 到 $B C$ 边的距离等于， $Δ A B C$ 的面积等于．

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16. 图中的四边形为矩形，根据图中提供的信息填空：

(1)、① ， ②；

(2)、 $(x + p) (x +$ $) = x^{2} +$ ．

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17. 若关于 $x$ 的不等式 $x \geq a$ 的负整数解是 $- 1, - 2, - 3$ ，则实数 $a$ 满足的条件是．

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18. 某手机店今年1-4月的手机销售总额如图1，其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分比如图2.有以下四个结论：
①从1月到4月，手机销售总额连续下降

②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降

③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降

④今年1-4月中，音乐手机销售额最低的是3月

其中正确的结论是（填写序号）.

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三、综合题

19. 解不等式 $\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 2}{2} \geq 2$ ，并把解集表示在数轴上.

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20. 先化简，再求值： ${(2 a + b)}^{2} + (a + b) (a - b) - 3 a b$ ，其中 $a = 2, b = - \frac{1}{2}$ .

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21. 如图，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，点 $E ， G$ 在线段 $C D$ 上， $F G / / A E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ .

(1)、求证： $A B / / C D$ ；

(2)、若 $F G ⊥ B C$ 于点 $H$ ， $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $∠ D = 100^{\circ}$ ，求 $∠ 1$ 的度数.

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22. 小明的作业中出现了如下解题过程：

解答下列问题：

(1)、以上解题过程中，从第几步开始出现了不符合题意？

(2)、比较 $\sqrt{9 \frac{1}{4}}$ 与 $3 \frac{1}{2}$ 的大小，并写出你的判断过程.

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A ， B$ 两点的坐标分别为 $A (4 ， 1) ， B (2 ， - 2)$ .

(1)、过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$ ，在 $B M$ 的延长线上截取 $M C = 2 B M$ ，平移线段 $A B$ 使点 $A$ 移动到点 $C$ ，画出平移后的线段 $C D$ ；

(2)、直按写出 $C ， D$ 两点的坐标；

(3)、画出以线段 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形 $A D E$ ，并使点 $E$ 与点 $B$ 分别位于 $A D$ 边所在直线的两侧，若点 $P$ 在 $Δ A D E$ 的三边上运动，直接写出线段 $P M$ 长的最大值，以及相应点 $P$ 的坐标.

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24. 2019年4月，中国新闻出版研究院发布了《第十六次全国国民阅读调查报告》，以下是小明根据该报告提供的数据制作的“2017-2018年我国未成年人图书阅读率统计图”的一部分.

报告中提到，2018年9-13周岁少年儿童图书阅读率比2017年提高了3.1个百分点，2017年我国0-17周岁未成年人图书阅读率为84.8%.

(1)、根据以上信息解决下列问题：
①写出图1中a的值；

②补全图1；

(2)、读书社的小明在搜集资料的过程中，发现了《人民日报》曾经介绍过多种阅读法，他在班上同学们介绍了其中6种，并调查了全班40名同学对这6种阅读法的认可程度，制作了如下的统计表和统计图：

根据以上信息解决下列问题：

①补全统计表及图2；

②根据调查结果估计全年级500名同学最愿意使用“ $D$ .精华提炼法”的人数.

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25. 阅读下面材料：
2019年4月底，“百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程.六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律.观察测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪加油弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观察测点的地理坐标.

请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）.

已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为 $S$ ，两个反射镜面位于 $A ， B$ 两处， $B$ 处的镜面的在直线 $F B C$ 自动与 $0^{\circ}$ 刻度线 $A E$ 保持平行（即 $B C / / A E$ ），并与 $A$ 处的镜面所在直线 $N A$ 交于点 $C$ ， $S A$ 所在直线与水平线 $M B$ 交于点 $D$ ，六分仪上刻度线 $A C$ 与 $0^{\circ}$ 刻度线的夹角 $∠ E A C = ω$ ，观测角为 $∠ S D M$ .（请注意小贴士中的信息）

求证： $∠ S D M = 2 ω$

请在答题卡上完成对紫结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）.

证明：∵ $B C / / A E$

∴ $∠ C = ∠ E A C$ （）

∵ $∠ E A C = ω$

∴ $∠ C = ω$ （）

∵ $∠ S A N = ∠ C A D$ （）

又∵ $∠ B A C = ∠ S A N = α$ （小贴士已知），

∴ $∠ B A D = ∠ B A C + ∠ C A D = 2 α$ .

∵ $∠ F B A$ 是 $Δ$ 的外角，

∴ $∠ F B A = ∠ B A C + ∠ C$ （）.

即 $β = α + ω$ .

补全证明过程：（请在答题卡上完成）

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26. 已知： $Δ A B C$ ，点 $M$ 是平面上一点，射线 $B M$ 与直线 $A C$ 交于点 $D$ ，射线 $C M$ 与直线 $A B$ 交于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A F / / C E$ ， $A F$ 与 $B C$ 所在的直线交于点 $F$ .

(1)、如图1，当 $B D ⊥ A C$ ， $C E ⊥ A B$ 时，写出 $∠ B A D$ 的一个余角，并证明 $∠ A B D = ∠ C A F$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 80^{\circ}$ ， $∠ B M C = 120^{\circ}$ .
①如图2，当点 $M$ 在 $Δ A B C$ 内部时，用等式表示 $∠ A B D$ 与 $∠ C A F$ 之间的数量关系，并加以证明；

②如图3，当点 $M$ 在 $Δ A B C$ 外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的 $∠ A B D$ 与 $∠ C A F$ 之间的数量关系.

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27. 如图，在等边三角形网格中建立平面斜坐标系 $x O y$ ，对于其中的“格点 $P$ ”(落在网格线交点处的点)，过点 $P$ 分别做 $y$ 轴， $x$ 轴的平行线，找到平行线与另一坐标轴的交点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记这个有序数对 $(x ， y)$ 为它的坐标，如 $A (2 ， 4)$ ， $B (- 2 ， - 1)$ ，规定当点在 $x$ 轴上时， $y$ 坐标为0，如 $C (2 ， 0)$ ；当点在 $y$ 轴上时， $x$ 坐标为0.

(1)、原点 $O$ 的坐标为，格点 $D$ 的坐标为.

(2)、在图中画出点 $E (3 ， 3)$ ， $F (- 1 ， 5)$ 的位置；

(3)、直线 $A D$ 上的格点 $M (m ， n)$ 的坐标满足的条件是（其中 $m ， n$ 为整数）.

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28. 探究逼近

\sqrt{7}

的有理近似值.

方法介绍：

经过 $k$ 步操作( $k$ 为正整数)不断寻找有理数 $a_{k}$ ， $b_{k}$ ，使得 $a_{k} < \sqrt{7} < b_{k}$ ，并且让 $b_{k} - a_{k}$ 的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,直观理解通过等分线段的方法不断缩小 $\sqrt{7}$ 对应的点 $P$ 所在线段的长度(二分法)

思路分析：

在数轴上记 $a_{k}$ ， $b_{k}$ 对应的点分别为 $A_{k}, B_{k}$ ， $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 的平均数 $c_{k} = \frac{a_{k} + b_{k}}{2}$ 对应线段 $A_{k} B_{k}$ 的中点（记为 $C_{k}$ ）.通过判断 $\sqrt{7} < c_{k}$ 还是 $\sqrt{7} > c_{k}$ ，得到点 $P$ 是在二等分后的“左线段 $A_{k} C_{k}$ ”上还是“右线段 $C_{k} B_{k}$ ”上，重复上述步骤，不断得到 $c_{k}$ ，从而得到 $\sqrt{7}$ 更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”：

(1)、当

k = 1

时，

①寻找左右界值：先寻找两个连续正整数 $a_{1}, b_{1}$ ，使得 $a_{1} < \sqrt{7} < b_{1}$ .

因为 $\sqrt{2^{2}} < \sqrt{7} < \sqrt{3^{2}}$ ，所以 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，那么 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 3$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点 $C_{1}$ 对应的数 $c_{1} = \frac{a_{1} + b_{1}}{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2.5$ .

$k$	$a_{k}$	$b_{k}$	$c_{k} = \frac{a_{k} + b_{k}}{2}$ 的值	$\sqrt{7} > c_{k}$ 还是 $\sqrt{7} < c_{k}$	点 $P$ 在“左线段 $A_{k} C_{k}$ ”上还是“右线段 $C_{k} B_{k}$ ”上	得出更精确的 $\sqrt{7}$ 与 $a_{k}$ ， $b_{k}$ ， $c_{k}$ 的大小关系
1	2	3	2.5	$\sqrt{7} > c_{1}$	点 $P$ 在线段 $C_{1} B_{1}$ 上	$2.5 < \sqrt{7} < 3$
2	2.5	3	2.75	$\sqrt{7} < c_{2}$	点 $P$ 在线段 $A_{2} C_{2}$ 上	$2.5 < \sqrt{7} < 2.75$
3	2.5	2.75	2.625	$\sqrt{7} > c_{3}$
4

②二分定位：判断点 $P$ 在“左线段 $A_{k} C_{k}$ ”上还是在“右线段 $C_{k} B_{k}$ ”上.

比较7与 $c_{1}^{2}$ 的大小，从而确定 $\sqrt{7}$ 与 $c_{1}$ 的大小；

因为 $\sqrt{7}$ > $c_{1}$ （填 “>”或“<”），得到点 $P$ 在线段 $C_{1} B_{1}$ 上（填“ $A_{1} C_{1}$ ”或“ $C_{1} B_{1}$ ”）.

(2)、当

k = 2

时，在（1）中所得

2.5 < \sqrt{7} < 3

的基础上，仿照以上步骤，继续进行下去，得到表中

k = 2

时的相应内容.

请继续仿照以上步骤操作下去，补全“阅读活动任务单”：

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29. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于任意一点 $A (x ， y)$ ，定义点 $A$ 的“离心值” $p (A)$ 为： $p (A) = {\begin{array}{l} | x | ，当 | x | \geq | y | \\ | y | ，当 | x | < | y | \end{array}$ 时，例如对于点 $A (- 6 ， 3)$ ，因为 $| - 6 | > | 3 |$ ，所以 $p (A) = | - 6 | = 6$ .
解决下列问题：

(1)、已知 $B (0 ， 5)$ ， $C (- 3 ， 3)$ ， $D (- \sqrt{2} ， - 1)$ ，直接写出 $p (D)$ 的值，并将 $p (B)$ ， $p (C)$ ， $p (D)$ 按从小到大的顺序排列（用“<”连接）；

(2)、如图，点 $P (- \frac{1}{2} ， 2) ， Q (- \frac{1}{2} ， - 2)$ ，线段 $P Q$ 上的点 $M (x ， y)$ ，
①若 $p (M) = 1$ ，求点 $M$ 的坐标；

②在图中画出满足 $p (M) = \frac{1}{2}$ 的点 $M$ 组成的图形，并用语言描述该图形的特征；

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