吉林省长春市汽开区2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-06-02 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在-2，0，-1，2这四个数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、 $- 1$ D、2

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2. 2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国，将2200万用科学记数法表示为（）

A、 $22 \times 10^{6}$ B、 $2.2 \times 10^{6}$ C、 $2.2 \times 10^{7}$ D、 $0.22 \times 10^{7}$

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3. 下图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 根的判别式的值为（）

A、5 B、13 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{13}$

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5. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”如果设木条长 $x$ 尺，绳子长 $y$ 尺，根据题意列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + 4.5 = y ， \\ \frac{y}{2} + 1 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 ， \\ \frac{y}{2} + 1 = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 ， \\ y = \frac{x}{2} + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 4.5 = y ， \\ x = \frac{y}{2} - 1 \end{array}$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $E$ ，若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $∠ B E D$ 的大小为（）

A、80° B、100° C、110° D、105°

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7. 如图，某停车场入口的栏杆 $A B$ ，从水平位置绕点 $O$ 旋转到 $A^{'} B^{'}$ 的位置，已知 $A O$ 的长为 $3$ 米．若栏杆的旋转角 $∠ A O A^{'} = α$ ，则栏杆 $A$ 端升高的高度为（）

A、 $\frac{3}{\sin α}$ 米 B、 $3 \sin α$ 米 C、 $\frac{3}{\cos α}$ 米 D、 $3 \cos α$ 米

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8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，四边形 $A D E F$ 是正方形，点 $A$ 、 $D$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $F$ 在 $A B$ 上，点 $B$ 、 $E$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 的图象上，若正方形 $A D E F$ 的面积为4，且 $B F = 2 A F$ ，则 $k$ 的值为（）

A、24 B、12 C、6 D、3

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{18} - \sqrt{2}$ = .

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10. 分解因式： $2 a - 2 a b =$ ．

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11. 不等式 $7 - 5 x \leq 2$ 的解集是．

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12. 如图， $O A / / C B$ ， $O C / / A B$ ，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小为度．

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13. 如图， $A B = 4$ ，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则 $△ A B D$ 的面积是

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$ （ $a$ 是常数，且 $a > 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连结 $A C$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A D$ ，连结 $B D$ ．当 $B D$ 最短时， $a$ 的值为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(3 x - 1)}^{2} - x (9 x + 2)$ ，其中 $x = \frac{3}{8}$ ．

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16. 小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同，小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功，用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．

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17. 为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩，已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．

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18. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在 $⊙ O$ 上，点D在AP上，且 $A C = C D$ ，延长DC交AB于点E．

(1)、求证： $C A = C E$ ．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $∠ A E C = 50 °$ ，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．（结果保留 $π$ ）

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19. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．

使用次数（次）

0

1

2

3

4

5

人数（人）

11

15

23

28

20

3

(1)、这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是（次）．

(2)、求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．

(3)、若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？

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20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)、在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画 $△ A B C$ 的面积为．

(2)、在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．

(3)、在图③中以线段AB为边画一个 $△ A B E$ ，使 $∠ B A E = 90 °$ ，其面积为 $\frac{17}{5}$ ．

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21. 一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线ABC表示两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）的函数关系．

(1)、甲乙两地之间的距离是km，轿车的速度是km/h；

(2)、求线段BC所表示的函数表达式；

(3)、在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象．

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22. 猜想
如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点．根据画出的图形，可以猜想：

$D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)、定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．

(2)、定理应用：

在矩形ABCD中， $A B = 2 A D$ ，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且 $A E = 3 B E$ ．
如图②，点F在边CB上，连结EF．若 $\frac{B F}{C F} = \frac{1}{3}$ ，则EF与AC的关系为．

(3)、如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到线段 $A E^{'}$ ，连结 $C E^{'}$ ，点H为 $C E^{'}$ 的中点，连结BH．设BH的长度为 $m$ ．若 $A B = 4$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线 $C A - A B$ 以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设 $△ B P Q$ 的面积为S，点P的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、求点A与BC之间的距离．

(2)、当 $B P = 2 A Q$ 时，求 $t$ 的值．

(3)、求S与 $t$ 之间的函数关系式．

(4)、当线段PQ与 $△ A B C$ 的某条边垂直时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 已知函数 $y = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 k x - k^{2} + 2 k (x ⩽ k) \\ x^{2} + 2 k x + k^{2} - 2 k (x > k) \end{array}$ ，（ $k$ 为常数）．

(1)、当 $k = - 1$ 时，
①求此函数图象与 $y$ 轴交点坐标．
②当函数 $y$ 的值随 $x$ 的增大而增大时，自变量 $x$ 的取值范围为．

(2)、若已知函数经过点（1，5），求 $k$ 的值，并直接写出当 $- 2 ⩽ x ⩽ 0$ 时函数 $y$ 的取值范围．

(3)、要使已知函数 $y$ 的取值范围内同时含有 $\pm 2$ 和 $\pm 4$ 这四个值，直接写出 $k$ 的取值范围．

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使用次数（次）	0	1	2	3	4	5
人数（人）	11	15	23	28	20	3