黑龙江省大庆市2019-2020学年高三理数第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 A={x|x<1} ， $B = {x | x^{2} - x > 0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = {x | x < 0}$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \cup B = {x | x > 1}$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. 若复数Z满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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3. 给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题②命题“若 $a > b$ ，则 $2^{a} > 2^{b} - 1$ ”的否命题为“若 $a \leq b$ ，则 $2^{a} \leq 2^{b} - 1$ ”③命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 1$ ”④在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的充要条件

其中正确的命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ，向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 上的投影为 $- \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, m ⊥ β$ ，则 $m / / α$ ； B、若 $m / / α, n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ ； C、若 $m ⊥ α, n / / β, m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ； D、若 $m / / β, m \subset α, α \cap β = n$ ，则 $m / / n$

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7. 已知各项均不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ，满足 $2 a_{3} - a_{7}^{2} + 2 a_{11} = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{7} = a_{7}$ ，则 $b_{1} \cdot b_{13} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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8. 某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为 $\frac{1}{4}$ 圆周，则该组合体的体积为（）

A、 $8 - \frac{2}{3} π$ B、 $8 - \frac{4}{3} π$ C、 $24 - 6 π$ D、 $24 - 2 π$

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9. $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为π，若其图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的函数为奇函数则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(- \frac{7 π}{12} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{array}{l} (3 - a) n - 3, n \leq 7 \\ a^{n - 6} {^{}}^{}^{}, n > 7 \end{array}$ $(n \in N^{*})$ ，且数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{4}, 3)$ B、 $[\frac{9}{4}, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(2, 3)$

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11. 已知点 $O, F$ 分别为抛物线 $C : y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的顶点和焦点，直线 $y = \frac{3}{4} x + 1$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，连接 $A O$ , $B O$ 并延长，分别交抛物线的准线于点 $P, Q$ ，则 $| B P | + | A Q | =$ （）

A、 $\frac{25}{4}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{25}{3}$ D、 $\frac{19}{3}$

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12. 设A.B,C, D是同一个半径为4的球的球面上四点，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ , $∠ B A C = 60 °$ ,则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $24 \sqrt{3}$ D、 $54 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. $\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x =$ ．

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14. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 3) = - f (x)$ ，且当 $x \in [0, \frac{3}{2}]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (2020) =$ ．

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15. 已知O是 $△ A B C$ 的外心， $∠ C = 45 °$ , $\overset{⇀}{O C} = 2 m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B}, (m, n \in R)$ ,则 $\frac{1}{m^{2}} + \frac{4}{n^{2}}$ 的最小值为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为A，且以A为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 $B ， C$ 两点，若 $∠ B A C \in [\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ ，则双曲线C的离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6$ ,且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $1 + a_{3}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 2^{- a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} (x + \frac{π}{2}) + \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $f (\frac{β}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $\sin (α + β)$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $c = \sqrt{3}$ ， $f (C) = 1$ ,求 $a + b$ 的取值范围.

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19. 如图，已知在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE折起到 $△ A_{1} D E$ （ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ）的位置，M为线段 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $B M ∥$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、已知 $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ ，当平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $A B C D$ 时，求直线 $B M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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20. 平面内有两定点 $A (0, - 1)$ , $B (0, 1)$ ,曲线 $C$ 上任意一点 $M (x, y)$ 都满足直线AM与直线BM的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点，并与y轴交于点P,直线AC与BD交于点Q.

(1)、求曲线C的轨迹方程；

(2)、当点P异于 $A, B$ 两点时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 为定值.

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21.

(1)、已知 $f (x) = x e^{x}$ ， $x \in R$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、已知 $a < 0$ ，不等式 $x^{a + 1} \cdot e^{x} + a \ln x \geq 0$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）对任意的实数 $x > 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ 过点 $(1, 0)$ ，倾斜角为 $60 °$ ，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的方程为 $ρ^{2} = \frac{6}{2 + \sin^{2} θ}$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C相交于 $A, B$ 两点，设点 $F (1, 0)$ ,求 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | 2 x + 1 |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、设关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 1 |$ 的解集为 $M$ ,若 $[- 1, - \frac{1}{2}] \subseteq M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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