浙江省温州市普通高中2020届高三下学期数学4月高考适应性测试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x \in R | x^{2} \geq 1}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 1 ， 3]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \infty ， 3]$

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2. 已知复数 $(1 + i) (a + i)$ 为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）

A、-1 B、1 C、0 D、2

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3. 设实数 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 ⩽ 0 \\ 2 x - y + 3 ⩾ 0 \\ x - y ⩽ 0 \end{matrix}$ 则 $x + y + 1$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5. 设 $a ， b \in (0 ， 1) \cup^{} (1 ， + \infty)$ ，则 $" a = b$ "是" $l o g_{a} b = l o g_{b} a$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 ${(1 + x)}^{20} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{19} x^{20} + a_{20} x^{20}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{9} + a_{10}$ 的值为（）

A、 $2^{19}$ B、 $2^{19} - \frac{1}{2} C_{20}^{10}$ C、 $2^{19} + \frac{1}{2} C_{20}^{10}$ D、 $2^{19} + C_{20}^{10}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0$ )，其右焦点F的坐标为 $(c ， 0)$ ，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足 $| O A | = \frac{c^{2}}{a}$ ，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点M是边BC的中点，将 $△ A B M$ 沿着AM翻折成 $△ A B' M$ ，且点 $B^{'}$ 不在平面AMC内，点P是线段 $B' C$ 上一点.若二面角 $P - A M - B'$ 与二面角 $P - A M - C$ 的平面角相等，则直线AP经过 $△ A B' C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心

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9. 定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $| f (x) | \leq 2^{| x - 1 |}$ ，且 $y = f (x + 1)$ 为奇函数，则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{matrix} 2 ， & n \leq 5 \\ a_{1} a_{2} \dots a_{n - 1} - 1 ， & n \geq 6 \end{matrix} (n \in N^{*})$ .若正整数 $k (k \geq 5)$ 使得 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{k}^{2} = a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ 成立，则 $k =$ （）

A、16 B、17 C、18 D、19

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二、双空题

11. 2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多人.

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12. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2 ， | \overset{⇀}{b} | = 1 ， \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的 $\overset{⇀}{a}$ 上的投影等于.

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13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）为，最长棱的长度（单位：cm）为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，若 $B D = 1$ ， $∠ B = \frac{π}{4}$ ， $\cos ∠ A D B = - \frac{3}{5}$ ，则AB= ， $s i n ∠ C A D =$

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三、填空题

15. 已知实数x，y满足 ${(2 x - y)}^{2} + 4 y^{2} = 1 ，$ 则 $2 x + y$ 的最大值为.

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16. 将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有种不同的放法.

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17. 已知点P是直线 $y = x + 1$ 上的动点，点Q是抛物线 $y = x^{2}$ 上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则 $| O M |$ 的最小值为.

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四、解答题

18. 设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) + sin (2 x + \frac{π}{3}) ，$ $x \in R$ .
(I)求 $f (x)$ 的最小正周期；

(II)若 $α \in (\frac{π}{6} ， π)$ 且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

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19. 在三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ B A C = ∠ S B A = ∠ S C A = 90 ° ， ∠ S A B = 45 \circ ， ∠ S A C = 60 ° ， D$ 为棱AB的中点， $S A = 2$
(I)证明： $S D ⊥ B C$ ；

(II)求直线 $S D$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n} ，}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = b_{1} = 1 ， b_{n} \in N * ， a_{2} + a_{4} + a_{9} = 3 b_{3} ， 3 a_{b_{3}} = b_{5} - 30.$
(I)求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(II)求数列 ${\frac{n^{2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $F$ 为其右焦点，直线 $l ： y = k x + m (k m < 0)$ 与椭圆交于 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点，点A，B在 $l$ 上，且满足 $| P A | = | P F | ， | Q B | = | Q F | ， | O A | = | O B |$ .(点 $A ， P ， Q ， B$ 从上到下依次排列)

(I)试用 $x_{1}$ 表示 $| P F |$ ：

(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.

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22. 已知 $a ， b \in R$ ，设函数 $f (x) = e^{x} - a x - b \sqrt{x^{2} + 1}$
(I)若 $b = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间：

(II)当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 的最小值为0，求 $a + \sqrt{5} b$ 的最大值.注： $e = 2.71828$ …为自然对数的底数.

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