浙江省绍兴市2020届高三下学期数学4月第一次高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x ⩾ 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 $R$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦点到渐近线的距离是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
3. 底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

查看试题解析
4. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} y ⩾ 0 \\ x - 2 y ⩽ 2 \\ 2 x - y ⩾ 2 \end{array}$ ，则 $x - 3 y$ （）

A、有最大值-2，最小值 $- \frac{8}{3}$ B、有最大值 $\frac{8}{3}$ ，最小值2 C、有最大值2，无最小值 D、有最小值-2，无最大值

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = \frac{π}{4}$ ，则“ $\sin A > \sin B$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，若 $\log_{a} 2 > 1$ ，则 $y = x - \frac{a}{| x |}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ ， $x_{3} \in R$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，设 $y_{1} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y_{2} = \frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ ， $y_{3} = \frac{x_{3} + x_{1}}{2}$ ， $z_{1} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ， $z_{2} = \frac{y_{2} + y_{3}}{2}$ ， $z_{3} = \frac{y_{3} + y_{1}}{2}$ ，若随机变量 $X ， Y ， Z$ 满足： $P (X = x_{i}) = P (Y = y_{i}) = P (Z = z_{i})$ $= \frac{1}{3} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 则（）

A、 $D (X) < D (Y) < D (Z)$ B、 $D (X) > D (Y) > D (Z)$ C、 $D (X) < D (Z) < D (Y)$ D、 $D (X) > D (Z) > D (Y)$

查看试题解析
8. 如图，三棱锥 $V - A B C$ 的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 $V A$ 上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为 $α$ ，二面角 $P - A C - B$ 的平面角为 $β$ ，则 $α + β$ 不可能是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

查看试题解析
9. 如图，一系列椭圆 $C_{n} ： \frac{x^{2}}{n + 1} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，射线 $y = x (x ⩾ 0)$ 与椭圆 $C_{n}$ 交于点 $P_{n}$ ，设 $a_{n} = | P_{n} P_{n + 1} |$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是（）

A、递增数列 B、递减数列 C、先递减后递增数列 D、先递增后递减数列

查看试题解析
10. 设 $a \in R$ ，若 $x \in [1 ， e]$ 时恒有 $(e - 1) x \cdot \ln (x + \frac{a}{x}) ⩽ x^{2} - x + a$ （其中 $e = 2.71828$ ……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）

A、 $y = x^{2} + a x + 1$ B、 $y = a x^{2} + 3 x + 1$ C、 $y = e^{x} + a - 1$ D、 $y = e^{x} - a + 1$

查看试题解析

二、双空题

11. 函数 $f (x) = - 3 \sin (π x + 2)$ 的最小正周期为；值域为.

查看试题解析
12. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{1 + i} = 1 - 2 i$ ，则z=； $| z | =$ .

查看试题解析
13. 已知 ${(1 + x)}^{6} - {(2 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{6} =$ ， $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots \dots + | a_{5} | + | a_{6} | =$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x < 0 \\ \log_{2} (x - a), x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (- 1) = f (1)$ ，则实数a=；若 $y = f (x)$ 存在最小值，则实数a的取值范围为.

查看试题解析

三、填空题

15. 某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案.（用具体数字作答）

查看试题解析
16. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{c} - \vec{d} | = | \vec{b} \cdot \vec{c} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{d}$ 的取值范围为.

查看试题解析
17. 已知 $a, b \in R$ ，设函数 $f (x) = 2 | \sin x + a | + | \cos 2 x + \sin x + b |$ 的最大值为 $G (a, b)$ ，则 $G (a, b)$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $b = 1$ ， $\frac{a}{\cos A} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面BCDE是正方形， $∠ A B C ＝ 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A E = \sqrt{7}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}, a_{3} + 2, a_{4}$ 成等差数列.数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} + \frac{b_{2}}{\sqrt{2}} + \frac{b_{3}}{\sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{b_{n}}{\sqrt{n}} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{b_{1} - 1}{a_{1}} + \frac{b_{2} - 1}{\sqrt{2} \cdot a_{2}} + \frac{b_{3} - 1}{\sqrt{3} \cdot a_{3}} + \dots \dots + \frac{b_{n} - 1}{\sqrt{n} \cdot a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

查看试题解析
21. 如图，已知点 $O (0 ， 0)$ ， $E (2 ， 0)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F为线段OE中点.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $E$ 的直线交抛物线C于 $A ， B$ 两点， $\vec{A B} = 4 \vec{A M}$ ，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且 $M N ⊥ y$ 轴，求 $△ A B N$ 面积的最小值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - a x^{2} (x > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ .
（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{t_{0} + 1} > 1$ .（其中 $t_{0}$ 为 $f (x)$ 的极小值点）

查看试题解析