浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = [0, 4]$ ， $B = {x \in R | | x | \leq 1}$ ，则 $(∁_{R}^{} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $(1, 4]$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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4. 明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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5. 函数 $f (x) = (e^{x} + e^{- x}) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 15]$ B、 $[1 ， 15]$ C、 $[- 1 ， 16]$ D、 $[1 ， 16]$

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7. 若 $a >, b > 0$ ，则“ $a b \leq 4$ ”是“ $\frac{a b}{a + b} \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知任意 $a \in [- 1 ， 2]$ ，若存在实数b使不等式 $| x^{2} - a x | \leq b$ 对任意的 $x \in [0 ， 2]$ 恒成立，则（）

A、b的最小值为4 B、b的最小值为6 C、b的最小值为8 D、b的最小值为10

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9. 如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + \vec{P B} \cdot \vec{P D}$ 是定值. B、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P D} + \vec{P D} \cdot \vec{P A}$ 是定值. C、 $| \vec{P A} | + | \vec{P B} | + | \vec{P C} | + | \vec{P D} |$ 是定值. D、 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2} + {\vec{P D}}^{2}$ 是定值.

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10. 对任意的实数 $x > 0$ ，不等式 $2 a e^{2 x} - \ln x + \ln a \geq 0$ 恒成立，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{2}{\sqrt{e}}$ B、 $\frac{1}{2 \sqrt{e}}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{2 e}$

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二、填空题

11. 若复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ .

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点M是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若 $k_{O M} \cdot k_{l} = \frac{1}{3}$ ，则双曲线离心率 $e$ 等于.

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + a$ ， $A = {x \in R | f (x) \leq x}$ ， $B = {x \in R | f [f (x)] \leq f (x)}$ ， $A \neq \emptyset, A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围是.

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三、双空题

14. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为它的前 $n$ 项和，已知 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且数列 ${a_{n} + n}$ 是等比数列，则 $a_{n} =$ ， $S_{n}$ =.

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15. 二项式 ${(\frac{1}{x} - \frac{x}{2})}^{6}$ 的展开式的各项系数之和为， $x^{4}$ 的系数为．

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16. 已知直线 $l : m x - y = 1,$ 若直线 $l$ 与直线 $x - m y - 1 = 0$ 平行，则m的值为，动直线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 8 = 0$ 截得的弦长最短为.

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17. 已知随机变量X的分布列如下表：

X

0

2

a

P

$\frac{1}{2}$

b

$\frac{1}{4}$

其中 $a > 0 ， b > 0$ .且 $E (X) = 2$ ，则b= ， $D (2 X - 1)$ =.

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ 已知 $\tan (\frac{π}{4} + A) = 3$ .

(1)、求 $\sin 2 A + \cos^{2} A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 1$ ， $c = 2$ ，求 $a$ 的值.

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19. 如图，已知四棱锥 $A - B C D E$ ，正三角形ABC与正三角形ABE所在平面互相垂直， $B C / /$ 平面 $A D E$ ，且 $B C = 2$ ， $D E = 1$ .

(1)、求证： $B C / / D E$ ；

(2)、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，求 $C F$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 2 a_{n}}{4}$ ，且 $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$ .

(1)、写出 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 的值，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \sqrt{S_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和；求证： $\frac{n^{2} + n}{2} < T_{n} < \frac{n^{2} + 2 n}{2}$ .

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21. 如图，设抛物线方程为 $x^{2} = 2 p y$ (p＞0)，M为直线 $y = - 2 p$ 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

(1)、求直线AB与y轴的交点坐标；

(2)、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 $C$ ， $D$ ，记 $λ = \frac{S_{△ E A B}}{S_{△ M C D}}$ ，问 $λ$ 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.

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22. 已知 $f (x) = (x^{2} - a) e^{- x}$ ， $g (x) = a (e^{- x} + 1)$

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > - 1$ 时，记 $f (x)$ 的两个极值点为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，若不等式 $x_{2} f (x_{1}) \leq λ [f' (x_{2}) - g (x_{1})]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的值.

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X	0	2	a
P	$\frac{1}{2}$	b	$\frac{1}{4}$