浙江省金华十校2020届高三下学期数学4月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 1) (x + 2) < 0}$ ， $B = {x | 1 < x \leq 2}$ ，则A∩B＝（）

A、{x|1＜x＜2} B、{x|1＜x≤2} C、{x|﹣1＜x≤2} D、{x|﹣1≤x＜2}

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2. 若复数 $\frac{2 + a i}{1 - i}$ (a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为（）

A、－2 B、2 C、1 D、－1

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3. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 4 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是（）

A、8 B、4 C、2 D、6

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4. 设a∈R，则“a＞2”是“方程x²+y²+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在下面四个x∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y＝|x|cos2x的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M，N分别为AC，B₁C₁的中点，E，F分别为BC，B₁B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB₁A₁的位置关系分别为（）

A、平行、平行 B、异面、平行 C、平行、相交 D、异面、相交

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7. 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）

A、E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B、E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C、E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D、E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ ，下列关于函数 $f (f (x)) + m = 0$ 的零点个数的判断，正确的是（）

A、当a＝0，m∈R时，有且只有1个 B、当a＞0，m≤﹣1时，都有3个 C、当a＜0，m＜﹣1时，都有4个 D、当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个

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9. 设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）

A、 $α < β ， β + γ > \frac{π}{2}$ B、 $α < β ， β + γ < \frac{π}{2}$ C、 $α > β ， β + γ > \frac{π}{2}$ D、 $α > β ， β + γ < \frac{π}{2}$

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10. 设a∈R，数列{a_n}满足a₁＝a，a_n+1＝a_n﹣（a_n﹣2）³ ，则（）

A、当a＝4时，a₁₀＞2¹⁰ B、当 $a = \sqrt{2}$ 时，a₁₀＞2 C、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，a₁₀＞2¹⁰ D、当 $a = \frac{16}{5}$ 时，a₁₀＞2

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二、双空题

11. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - y^{2} = 1$ 的一渐近线方程是x+2y＝0，则a＝；离心率是．

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12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，体积是．

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13. 已知a∈R，若二项式 ${(a \sqrt{x} + 1)}^{n}$ 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝，含x项的系数是．

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14. 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且， $A \neq \frac{π}{2}$ ，c+bcosA﹣acosB $= \sqrt{2}$ acosA，则 $\frac{b}{a} =$ ，内角B的取值范围是．

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三、填空题

15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ ，F为其左焦点，过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线l的斜率为．

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16. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2}$ ， $3 \vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{| \vec{b} | \cdot | \vec{c} |}$ 的最小值是．

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17. 设a，b∈R，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + (1 - a) x$ 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin x + a \cos x (a > 0)$ 满足 ${[f (x)]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2} = 4$ ．
（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 $f (α) \cdot f (α + \frac{π}{2}) = \frac{2}{3}$ ，求sin2α．

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19. 如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB $= \sqrt{6}$ ，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．

（Ⅰ）证明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．

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20. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知：a₅＝2a₂+3且a₂ ， $\sqrt{S_{9}}$ ，a₁₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设正项数列{b_n}满足b_n²S_n+1＝S_n+1+2，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

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21. 如图，已知抛物线x²＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k₁（k₁＞0），k₂ ．

（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标

（Ⅱ）若k₁﹣k₂＝2，求四边形ACBD面积的最小值．

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22. 已知函数f（x）＝ax³﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．
（Ⅰ）若 $a = \frac{1}{2}$ ，证明：f（x）≥0；

（Ⅱ）若xe¹^﹣^x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

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