浙江省嘉兴市海宁市、桐乡市2020届高三下学期数学3月开学模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0}$ ，则 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $z$ 满足 $\frac{2}{z} = - 1 - i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则z=（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 设双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，命题p：双曲线E离心率 $e = \sqrt{2}$ ，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知l，m是两条不同的直线， $α$ 是平面，且 $m / / α$ ，则（）

A、若 $l / / m$ ，则 $l / / α$ B、若 $l / / α$ ，则 $l / / m$ C、若 $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式最有可能是（）

A、 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x} - 1}$ C、 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ D、 $f (x) = \frac{1 + 3^{x}}{1 - 3^{x}}$

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6. 已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足 $Y = 3 X - 1$ ，则Y的方差 $D (Y) =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $9$

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7. 已知 $a \in R$ ，实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y \leq 0 \\ x - a \geq 0 \end{array}$ ，设 $z = x - 2 y$ ，若z的最小值是 $- 7$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、7

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8. 用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（）

A、54 B、44 C、32 D、22

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9. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $A P ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A = P D$ ，点E为线段PD的动点．记BE与AP所成角的最小值为 $α$ ，当E为线段PD中点时，二面角 $P - B C - E$ 的大小为 $β$ ，二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $γ$ ，则 $α$ ， $β$ ， $γ$ 的大小关系是（）

A、 $α > β > γ$ B、 $α > γ > β$ C、 $α > β = γ$ D、 $γ > α > β$

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 为钝角三角形， $A C < A B < B C$ ，点P是 $△ A B C$ 外接圆上的点，则当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 取最小值时，点P在（）

A、 $∠ B A C$ 所对弧上（不包括弧的端点） B、 $∠ A B C$ 所对弧上（不包括弧的端点） C、 $∠ A C B$ 所对弧上（不包括弧的端点） D、 $△ A B C$ 的顶点

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二、双空题

11. 早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知 ${(a x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-160，则实数a=；展开式中各项系数之和为．（用数字作答）

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12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．

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13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\cos A =$ ， $△ A B C$ 的面积是．

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14. 已知正实数x，y满足 $x + 2 y = 3$ ，则 $x y$ 的最大值为， $\frac{x^{2} + 3 y}{x y}$ 的最小值为．

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三、填空题

15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线 $A F_{1}$ 的斜率为 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ ，且 $| A F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则椭圆的离心率为．

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16. 等比数列 ${a_{n}}$ 的相邻两项 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 是方程 $x^{2} - 2^{n} x + c_{n} = 0 (n \in N *)$ 的两个实根，记 $T_{n}$ 是数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $T_{n} =$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - 1$ ， $g (x) = a | x - m |$ ，若存在实数 $a > 0$ 使 $y = f (x) - g (x)$ 在 $(\frac{1}{e} ， e)$ 上有2个零点，则m的取值范围为．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sqrt{3}$ ，（ $x \in R$ ）．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间及 $f (x)$ 图象的对称轴方程．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A D C = 120 °$ ， $P D = C D = A D$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列，且 $a_{5} = S_{4} + 2$ ， $n \in N *$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ ， $n \in N *$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} \leq \frac{3}{4} - \frac{1}{4 (2^{n} - 1)}$ ， $n \in N *$ ．

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21. 如图，设点 $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 y$ 的焦点，直线l与抛物线C相切于点p（点p位于第一象限），并与抛物线C的准线相交于点A．过点P且与直线 $l$ 垂直的直线 $l_{1}$ 交抛物线C于另一点B，交y轴于点Q，连结AB．

(1)、证明： $△ F P Q$ 为等腰三角形；

(2)、求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{4}{x + 1}$ ， $g (x) = - 2 a b \cdot e^{x - 1} + b (x + 1) \ln x - 2 a + 2 b + 2$ ，其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $b \in [a ， + \infty)$ 及 $x \in (0 ， 1]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
注： $e$ 是自然对数的底数．

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