浙江省嘉兴市2020届高三下学期教学5月测试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ， $A = {1,2,3}$ ， $B =$ ${4, 5, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ 等于（）

A、 ${1,2,3}$ B、 ${4, 5, 6}$ C、 ${1,2,3,4,5,6}$ D、 ${7,8}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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3. 复数 $\frac{1}{1 - i}$ （i为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $1 - i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $1+i$

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4. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若 m⊥α ，n⊂α，则 m⊥n C、若m⊥α，m⊥n，则n∥α D、若m∥α，m⊥n，则n⊥α

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5. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $a x + y - 1 = 0$ 和直线 $x + (a^{2} - 2) y - 1 = 0$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若直线 $y = 2 x$ 上不存在点 $(x ， y)$ 的坐标满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 < 0 \\ x - 2 y - 3 < 0 \\ x > m \end{array}$ 则实数m的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = a$ 且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{n} ， n = 2 k - 1, k \in N^{*} ， \\ 2 a_{n} ， n = 2 k, k \in N^{*} ． \end{array}$ 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{2020} = 1$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{3030}$ B、 $\frac{1}{2020}$ C、 $\frac{1}{1515}$ D、 $1$

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8. 分别将椭圆 $C_{1}$ 的长轴、短轴和双曲线 $C_{3}$ 的实轴、虚轴都增加m个单位长度（ $m > 0$ ），得到椭圆 $C_{2}$ 和双曲线 $C_{4}$ ．记椭圆 $C_{1}, C_{2}$ 和双曲线 $C_{3}, C_{4}$ 的离心率分别是 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ ，则（）

A、 $e_{1} > e_{2}$ ， $e_{3} < e_{4}$ B、 $e_{1} > e_{2}$ ， $e_{3}$ 与 $e_{4}$ 的大小关系不确定 C、 $e_{1} < e_{2}$ ， $e_{3} > e_{4}$ D、 $e_{1} < e_{2}$ ， $e_{3}$ 与 $e_{4}$ 的大小关系不确定

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9. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$

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10. 设函数 $f (x) = \ln x + \cos x$ 的极值点从小到大依次为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n} ， \dots$ ，若 $c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $d_{n} =$ $f (a_{n + 1}) - f (a_{n})$ ，则下列命题中正确的个数有（）
①数列 ${c_{n}}$ 为单调递增数列②数列 ${d_{n}}$ 为单调递减数列③存在常数 $λ \in R$ ，使得对任意正实数t，总存在 $n_{0} \in N^{*}$ ，当 $n > n_{0}$ 时，恒有 $| c_{n} - λ | < t$ ④存在常数 $μ \in R$ ，使得对任意正实数t，总存在 $n_{0} \in N^{*}$ ，当 $n > n_{0}$ 时，恒有 $| d_{n} - μ | < t$

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、双空题

11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则其最小正周期 $T =$ ， $f (\frac{π}{3}) =$ ．

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12. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有个，该几何体的体积是 ${cm}^{3}$ ．

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13. 二项式 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为，所有项的系数之和为．

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14. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下：

$ξ$

1

2

3

$P$

$\frac{1}{2}$

$a^{2}$

$\frac{a}{2}$

则a= ，方差 $D (ξ) =$ ．

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三、填空题

15. 将A,B,C,D, E, F六个字母排成一排，若A, B,C均互不相邻且A, B在C的同一侧，则不同的排法有种．（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} - 2, x \leq 0 \end{array}$ 若 $f (f (a)) \leq 0$ ，则实数a的取值范围为．

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17. 四面体 $P - A B C$ 中， $P A = \sqrt{3}$ ，其余棱长都为2，动点Q在 $△ A B C$ 的内部（含边界），设 $∠ P A Q = α$ ，二面角 $P - B C - A$ 的平面角的大小为 $β$ ， $△ A P Q$ 和 $△ B C Q$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，且满足 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3 \sin α}{4 \sin β}$ ，则 $S_{2}$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 $\sqrt{3} a \sin B - b \cos A = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $\sqrt{3} b - c$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，且 $P A = P B = 2$ ，若点E ， F分别为AB和CD的中点．

(1)、求证：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P E F$ ；

(2)、若二面角 $P - A B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $P C$ 与平面PAB所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ．公比大于 $0$ 的等比数列 ${b_{n}}$ 的首项为 $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} + b_{3} = 20$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{{(a_{n})}^{2}}{b_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + ... + c_{n} < \frac{7}{2}$ ， $(n \in N^{*})$ ．

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21. 设点 $P (s ， t)$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点，F是抛物线的焦点，当 $s = 1$ 时， $| P F | = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点P作圆M： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，分别交抛物线C于点 $A ， B$ ．当 $t > 1$ 时，求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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22. 定义两个函数的关系：函数 $m (x), n (x)$ 的定义域分别为A,B，若对任意的 $x_{1} \in A$ ，总存在 $x_{2} \in B$ ，使得 $m (x_{1}) = n (x_{2})$ ，我们就称函数 $m (x)$ 为 $n (x)$ 的“子函数”．已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{3}{4} \ln \frac{x}{3}$ ， $g (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 3$ ， $a, b \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 为 $g (x)$ 的一个“子函数”，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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$ξ$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{2}$	$a^{2}$	$\frac{a}{2}$