浙江省杭州市建人2020届高复高三下学期数学4月模拟测试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1,$ 2，3，4，5， $6}$ ，集合 $P = {1, 4}$ ， $Q = {3, 5}$ ，则 $∁_{U} (P \cup Q) =$ （）

A、{2,6} B、 ${2,$ 3，5，6} C、{1，3，4，5} D、{12，3，4，5，6}

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2. 已知a，b∈R， $i^{2} = - 1$ 则“ $a = b = 1$ ”是“ ${(a + b i)}^{2} = 2 i$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）

A、16+8 $π$ B、8+8 $π$ C、16+16 $π$ D、8+16 $π$

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4. 如果正数 $a ， b ， c ， d$ 满足 $a + b = c d = 4$ ，那么（）

A、 $a b \leq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值唯一 B、 $a b \geq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值唯一 C、 $a b \leq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值不唯一 D、 $a b \geq c + d$ ，且等号成立时 $a ， b ， c ， d$ 的取值不唯一

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5. 设等差数列{a_n}的公差为d ，若数列{2a₁a_n}为递减数列，则（）

A、d<0 B、d>0 C、a₁d<0 D、a₁d>0

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 12 = 0$ 则 $| 2 x - y - 2 |$ 的最小值是（）

A、 $5 - \sqrt{5}$ B、 $4 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $5 \sqrt{5}$

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7. 定义平面向量之间的一种运算“ $⊙$ ”如下：对任意的 $\vec{a} = (m ， n)$ ， $\vec{b} = (p ， q)$ ，令 $\vec{a} ⊙ \vec{b} = m q - n p$ .下面说法错误的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $a ⊙ b = 0$ B、 $\vec{a} ⊙ \vec{b} = \vec{b} ⊙ \vec{a}$ C、对任意的 $λ \in R ，有（ λ \vec{a} ） ⊙ \vec{b} = λ (\vec{a} ⊙ \vec{b})$ D、 ${(\vec{a} ⊙ \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2}$

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8. 对于给定正数k，定义 $f_{k} (x) = {\begin{array}{l} f (x), f (x) \leq k \\ k, f (x) > k \end{array}$ ，设 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - a^{2} + 5 a + 2$ ，对任意 $x \in R$ 和任意 $a \in (- \infty, 0)$ 恒有 $f_{k} (x) = f (x)$ ，则（）

A、k的最大值为2 B、k的最小值为2 C、k的最大值为1 D、k的最小值为1

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9. 如图，点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上运动，且P到直线BC与直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设函数 $f (x) = \frac{a^{2} + a \sin x + 2}{a^{2} + a \cos x + 2}$ 的最大值为 $M (a)$ ，最小值为 $m (a)$ ，则（）

A、 $\exists a_{0} \in R ， M (a_{0}) \cdot m (a_{0}) = 2$ B、 $\forall a \in R ， M (a) + m (a) = 2$ C、 $\exists a_{0} \in R ， M (a_{0}) + m (a_{0}) = 1$ D、 $\forall a \in R ， M (a) \cdot m (a) = 1$

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二、双空题

11. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \geq 0 \\ - f (- x), x < 0 \end{array}$ ，若 $a = \log_{4} 3$ ，则 $f (a) =$ ， $f (a - 1) =$ ；

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12. 已知 $f (x) = {(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为；展开式中系数最大的项为.

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13. 将字母 $a, a, b, b, c, c$ 放入 $3 \times 2$ 的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为；若共有 $k$ 行字母相同，则得k分，则所得分数 $ξ$ 的数学期望为；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下 $ξ = 1$ ）

a

b

c

c

a

b

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14. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 都是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{1 - \vec{a} \cdot \vec{c}} + \sqrt{1 - \vec{b} \cdot \vec{c}}$ 的最小值为；最大值为

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三、填空题

15. 已知方程 $(k - 1) x^{2} + (9 - k) y^{2} = 1$ ，若该方程表示椭圆方程，则 $k$ 的取值范围是；

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16. 已知正四面体ABCD和平面 $α$ ， $B C \subset α$ ，正四面体ABCD绕边BC旋转，当AB与平面 $α$ 所成角最大时，CD与平面 $α$ 所成角的正弦值为

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17. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线左支于 $A ， B$ 两点，且 $| O F_{1} | = | O A |$ ，延长AO交双曲线右支于点C，若 $| C F_{1} | = 2 | B F_{1} |$ ，则该双曲线的离心率为

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四、解答题

18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = b \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $\sin^{2} A + \sin^{2} C$ 的取值范围.

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19. 如图所示， $Δ A B C$ 和 $Δ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120^{\circ}$ ，E，F分别为AC，DC的中点.

(1)、求证： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - C$ 的正弦值.

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20. 已知各项均为正数的数列{ $a_{n}$ }的前n项和满足 $S_{n} > 1$ ，且 $6 S_{n} = (a_{n} + 1) (a_{n} + 2), n \in N^{*}$

(1)、求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} (2^{b_{n}} - 1) = 1$ ，并记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前n项和，求证： $3 T_{n} + 1 > \log_{2} (a_{n} + 3), n \in N^{*}$

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21. 已知A,B是抛物线 $x^{2} = - y$ 上位于 $y$ 轴两侧的不同两点

(1)、若CD在直线 $y = x + 4$ 上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.

(2)、求过A、B的切线与直线 $y = - 1$ 围成的三角形面积的最小值；

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22. 设函数f（x）＝e^x﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜x₂ ．

(1)、求a的取值范围；

(2)、证明：f′（ $\sqrt{x_{1} x_{2}}$ ）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；

(3)、设点C在函数y＝f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记 $\sqrt{\frac{x_{2} - 1}{x_{1} - 1}} =$ t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．

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