上海市松江区2020届高三下学期数学高考模拟（4月)试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数z= $\frac{5}{2 - i}$ ，则|z|=（）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、5 D、5 $\sqrt{5}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m) ，$ $\vec{b} = (2 ， 5)$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m=（）

A、1 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 已知 $A = {x | x \leq 1} ，$ $B = {x | \frac{x - 2}{x - a} \leq 0}$ ，若 $A \cup B = {x | x \leq 2}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \leq 2$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \leq 1$

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4. 已知椭圆 $M (1 ， 0)$ 分别过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $B (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 已知实数 $a > 0 ，$ $b > 0$ ，且 $a b = 2$ ，则行列式 $| \begin{array}{l} a & b \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 的（）

A、最小值是2 B、最小值是 $2 \sqrt{2}$ C、最大值是2 D、最大值是 $2 \sqrt{2}$

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6. “ $k = 1$ ”是“直线 $l_{1} ： k x + y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： x + k y + 3 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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8. 样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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9. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）

A、 $y = - x^{- 1}$ B、 $y = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$

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10. 给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知 ${(1 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，在 $a_{0} ，$ $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $\cdot \cdot \cdot ，$ $a_{6}$ 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{8}{21}$

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12. 下列命题中是假命题的是（）

A、对任意的 $φ \in R$ ，函数 $f (x) = \cos (2 x + φ)$ 都不是奇函数 B、对任意的 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \log_{2} x - a$ 都有零点 C、存在 $α$ 、 $β \in R$ ，使得 $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ D、不存在 $k \in R$ ，使得幂函数 $f (x) = x^{k^{2} - 2 k + 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减

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13. 函数 $f (x) = \log_{2} | \frac{1 + x}{1 - x} |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 $A B = 1 (k m)$ ， $C D = 3 (k m)$ ，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°， $∠ B E D = 120 °$ ，则两山顶A、C之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2} (k m)$ B、 $\sqrt{10} (k m)$ C、 $\sqrt{13} (k m)$ D、 $3 \sqrt{3} (km)$

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15. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ，$ $a_{n + 1}^{2} = 2 S_{n} + n + 1$ $(n \in N^{*})$ ，设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} T_{n} =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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16. 在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、4 B、8 C、10 D、16

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17. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ，$ $x \in [0 ， \frac{13}{6} π]$ ，若函数 $F (x) = f (x) - 2$ 的所有零点依次记为 $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $\cdot \cdot \cdot ，$ $x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2 x_{n - 1} + x_{n} =$ （）

A、 $2 π$ B、 $\frac{11}{3} π$ C、 $4 π$ D、 $\frac{22}{3} π$

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18. 设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 在复数集C内的根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则由 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a_{2} x^{2} - a_{2} (x_{1} + x_{2}) x + a_{2} x_{1} x_{2} = 0$ ，可得 $x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}} ，$ $x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}}$ .类比上述方法：设实系数一元三次方程 $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4 = 0$ 在复数集C内的根为 $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $x_{3}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的值为（）

A、﹣2 B、0 C、2 D、4

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19. 已知函数 $f (x) = 3 x + \frac{8}{x} + a$ 关于点 $(0 ， - 12)$ 对称，若对任意的 $x \in [- 1 ， 1] ，$ $k \cdot 2^{x} - f (2^{x}) \geq 0$ 恒成立，则实数k的取值范围为（）

A、 $k \leq - 11$ B、 $k \geq - 11$ C、 $k \leq 1$ D、 $k \geq 11$

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20. 已知点 $P (1 ， 2)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、﹣2

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21. 若数列 ${b_{n}}$ 的每一项都是数列 ${a_{n}}$ 中的项，则称 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的子数列.已知两个无穷数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的各项均为正数，其中 $a_{n} = \frac{3}{2 n + 1}$ ， ${b_{n}}$ 是各项和为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，且 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的子数列，则满足条件的数列 ${b_{n}}$ 的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无穷多个

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