吉林省长春市2020届高三理数质量监测试卷（二)

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x (x - 2) \leq 0}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 若 $z = 1 + (1 - a) i$ （ $a \in R$ ）， $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、0或2 B、0 C、1或2 D、1

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3. 下列与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 定义域和单调性都相同的函数是（）

A、 $y = 2^{\log_{2} x}$ B、 $y = \log_{2} {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $y = \log_{2} \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{\frac{1}{4}}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $3 a_{5} = 2 a_{7}$ ，则此数列中一定为0的是（）

A、 $a_{1}$ B、 $a_{3}$ C、 $a_{8}$ D、 $a_{10}$

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5. 若单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、－1 B、2 C、0或－1 D、2或－1

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6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）

A、甲的数据分析素养高于乙 B、甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C、乙的六大素养中逻辑推理最差 D、乙的六大素养整体平均水平优于甲

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7. 命题p：存在实数 $x_{0}$ ，对任意实数x，使得 $\sin (x + x_{0}) = - \sin x$ 恒成立； $q$ ： $\forall a > 0$ ， $f (x) = \ln \frac{a + x}{a - x}$ 为奇函数，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \lor (\neg q)$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land q$

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $C = 30 °$ ， $\cos A = - \frac{2}{3}$ ， $A C = \sqrt{15} - 2$ ，则 $A C$ 边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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9. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遗到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）

A、6种 B、12种 C、24种 D、36种

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点，给出下列命题：① $A C_{1} ⊥ E G$ ；② $G C // E D$ ；③ $B_{1} F ⊥$ 平面 $B G C_{1}$ ；④ $E F$ 和 $B B_{1}$ 成角为 $\frac{π}{4}$ .正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ， $M (\frac{1}{2} ， y_{0})$ 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A， $∠ A M F = 120 °$ ，则抛物线方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 6 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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12. 已知 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} + x$ ，则不等式 $f (x) + f (3 - 2 x) \leq 2$ 的解集是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \geq 2 \\ y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为．

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14. 若 $\int_{0}^{1} (a - x^{2}) d x = \frac{5}{3}$ ，则 $a =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $[π, 2 π)$ 上的值小于0恒成立，则 $ω$ 的取值范围是.

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三、双空题

16. 三棱锥 $A - B C D$ 的顶点都在同一个球面上，满足 $B D$ 过球心O，且 $B D = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为；三棱锥 $A - B C D$ 体积最大时，平面 $A B C$ 截球所得的截面圆的面积为.

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四、解答题

17. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（ $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、求

m

的值；

(2)、将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列

2 \times 2

列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

	擅长	不擅长	合计
男性		30
女性			50
合计			100

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，M，N分别为 $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，G为棱 $A A_{1}$ 上一点，若 $A_{1} B ⊥$ 平面 $M N G$ .

(1)、求线段 $A G$ 的长；

(2)、求二面角 $B - M G - N$ 的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ，且 $a_{n + 2} - 4 a_{n + 1} + 3 a_{n} = 0$ $(n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2 n \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点 $P$ 为椭圆上异于A、B的点，且直线 $P A$ 和 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、设直线 $A P$ 与 $y$ 轴的交点为Q，过坐标原点 $O$ 作 $O M // A P$ 交椭圆于点M，试探究 $\frac{| A P | \cdot | A Q |}{| O M |^{2}}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ .（参考数据： $e^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \approx 1.78$ ）

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意的 $m \in R$ ，当 $x > 0$ 时，都有 $m^{2} (2 f (x) + \frac{1}{x}) > 2 \sqrt{2 k} m - 1$ 恒成立，求最大的整数 $k$ .

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 8 + t \cos \frac{3 π}{4} \\ y = t \sin \frac{3 π}{4} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 作直线交曲线 $C_{1}$ 于点 $M$ （ $M$ 异于 $O$ ），交曲线 $C_{2}$ 于点 $N$ ，求 $\frac{| O N |}{| O M |}$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、若 $a = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 9$ ；

(2)、若当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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