吉林省2020届高三文数第二次模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

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2. 已知集合 $A = {x \in Z | | x | < 3}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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3. 已知 $a = \log_{8} 7$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = π^{0.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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4. 长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为 $1$ ，则矩形ABCD的长为（）（结果保留两位小数）

A、 $10.09$ B、 $11.85$ C、 $9.85$ D、 $11.09$

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5. 函数 $f (x) = (\frac{4}{x} - x) \cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3， $\dots$ ， $840$ 随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（）

A、487号职工 B、307号职工 C、607号职工 D、520号职工

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7. $\tan 645^{\circ} =$ （）

A、 $- 2 + \sqrt{3}$ B、 $- 2 - \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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8. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{6}$ ，且满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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9. 如图给出的是计算 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2019}$ 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）

A、 $S = S + \frac{1}{2 i + 3}$ B、 $S = S + \frac{1}{2 i + 1}$ C、 $S = S + \frac{1}{i + 1}$ D、 $S = S + \frac{1}{2 i - 1}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \sin^{2} 130^{\circ}$ 相切，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{\sin 50^{\circ}}$ B、 $\frac{1}{\cos 50^{\circ}}$ C、 $2 \sin 50^{\circ}$ D、 $2 \cos 50^{\circ}$

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11. 设 $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知 $2 b - a \cos C = 0$ ， $\sin A = 3 \sin (A + C)$ ，则 $\frac{b c}{a^{2}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 3 ， 0)$ ， $F_{2} (3 ， 0)$ ，过 $F_{2}$ 作直线l与双曲线C的右支交于点A，B两点．若 $| B F_{2} | = 4 | A F_{2} |$ ， $| A F_{1} | = | A B |$ ，则C的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

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二、填空题

13. 曲线 $y = (3 x^{2} - x) e^{x}$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $6 a_{3}^{2} = a_{6}$ ，则 $S_{5} =$ ．

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15. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x) - 8 \cos \frac{x}{2}$ 的最小值为．

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16. 如图，在五面体ABCDEF中， $A B$ // $D C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $C D = A D = 3$ ，四边形 $A B F E$ 为平行四边形， $F A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F C = 5$ ，则直线AB到平面EFCD距离为．

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三、解答题

17. 为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级 $100$ 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；

(2)、能否认为在犯错误的概率不超过 $0.01$ 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = - 3$ ， $S_{6} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求使不等式 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

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19. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $D C = D D_{1} = 3 A D = 3 A B = 3$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B$ // $D C$ ， $E$ 为 $D C$ 上一点，且 $D E = 1$ ．

(1)、求证： $D_{1} E$ //平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $B E D_{1}$ 的距离．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x - x \cos x - \frac{1}{6} x^{3}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数．

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上不存在零点；

(2)、若 $f (x) > k x - x \cos x - \frac{1}{6} x^{3} - 1$ 对 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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21. 已知O为坐标原点，椭圆 $\frac{y^{2}}{2} + x^{2} = 1$ 的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点.

(1)、以AB为直径的圆与 $x = \sqrt{2}$ 相切，求该圆的半径；

(2)、在 $y$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{4 m}{1 + m^{2}} \\ y = \frac{\sqrt{3} (1 - m^{2})}{1 + m^{2}} \end{array}$ （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是 $2 ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = 4$ ．

(1)、写出曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)、求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

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23. 已知a，b，c为正数，且满足 $a b c = 8$ ，证明：

(1)、 $(4 + a) (4 + b) (4 + c) \geq 216$ ；

(2)、 ${(a + b)}^{2} + {(b + c)}^{2} + {(c + a)}^{2} \geq 48$ .

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