黑龙江省齐齐哈尔2020届高三理数二模考试试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | (x - 1) (x - 3) \geq 0}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} > \frac{1}{4}}$ .则集合 $(∁_{U} A) \cap B$ 等于（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3]$ C、 $(1, 3)$ D、 $(2, 3)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $\frac{z - i}{i} = z - 2 i (i$ 为虚数单位)，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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3. 用电脑每次可以从区间 $(0, 3)$ 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 $1$ 的概率为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{27}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

A、该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B、与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C、该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个 D、去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

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5. 已知 $α$ 为锐角，且 $\sqrt{3} \sin 2 α = 2 \sin α$ ，则 $\cos 2 α$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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6. 已知 $Δ A B C$ 中内角 $A, B, C$ 所对应的边依次为 $a, b, c$ ，若 $2 a = b + 1, c = \sqrt{7}, C = \frac{π}{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 设 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{3} (x + 1) + a x^{2} - a + 1$ ( $a$ 为常数)，则不等式 $f (3 x + 4) > - 5$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则 $\vec{P A} + \vec{P C} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{5}{9} \vec{B A} + \frac{7}{9} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{9} \vec{B A} + \frac{10}{9} \vec{B C}$ D、 $\frac{2}{9} \vec{B A} + \frac{7}{9} \vec{B C}$

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9. 已知曲线 $C ： y = \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{3}$ ，曲线C向左平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到曲线 $E$ 的一个对称中心的坐标为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，则 $θ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{12}$

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10. 半径为2的球 $O$ 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $16 \sqrt{3}$ D、 $18 \sqrt{3}$

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11. 已知焦点为F的抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当 $\frac{| M A |}{| M F |}$ 取得最大值时，直线MA的方程为（）

A、 $y = x + 1$ 或 $y = - x - 1$ B、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 或 $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ C、 $y = 2 x + 2$ 或 $y = - 2 x - 2$ D、 $y = - 2 x + 2$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足当 $x \leq 0$ 时， $2 f (x - 2) = f (x)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 1$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ).若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）

A、 $(625 ， + \infty)$ B、 $(4 ， 64)$ C、 $(9 ， 625)$ D、 $(9 ， 64)$

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二、填空题

13. 如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为.

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14. $\frac{{(2 - x^{2})}^{5}}{x^{3}}$ 的展开式中 $x$ 的系数为.

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15. 已知 $a = \log_{0.3} 0.2, b = \log_{2} 0.2$ ，则a+b. $a b$ (填“>”或“=”或“<”).

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16. 已知点F为双曲线 $E ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右焦点， $M ， N$ 两点在双曲线上，且 $M ， N$ 关于原点对称，若 $M F ⊥ N F$ ，设 $∠ M N F = θ$ ，且 $θ \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ ，则该双曲线 $E$ 的焦距的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = B D = 2$ ， $B B_{1} = 2$ ， $B D$ 与 $A C$ 相交于点E， $A_{1} D$ 与 $A D_{1}$ 相交于点O.

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；

(2)、求直线OB与平面 $O B_{1} D_{1}$ 所成的角的正弦值.

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18. 2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：

分组

$[10，20)$

$[20，30)$

$[30，40)$

$[40，50)$

频数

$2$

$b$

$20$

$10$

(1)、求 $a ， b$ 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？

(2)、从甲、乙两家公司旅游总收入在 $[10 ， 20)$ (单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3, b_{1} = 1, a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 b_{n} - b_{n + 1}, a_{n + 1} - a_{n} = b_{n + 1} - b_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、分别求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ， $T_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l ： x = 2$ 被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆 $C$ 上(异于椭圆左、右顶点)，过点 $P$ 作直线 $m ： y = k x + t$ 与椭圆 $C$ 相切，且与直线 $l$ 相交于点Q.

(1)、求证： $P F ⊥ Q F$ .

(2)、若点P在x轴的上方，当 $△ P Q F$ 的面积最小时，求直线m的斜率k.
附：多项式因式分解公式： $t^{6} - 3 t^{4} - 5 t^{2} - 1 = (t^{2} + 1) (t^{4} - 4 t^{2} - 1)$

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21. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (1 - a x^{2}) e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、证明：当 $x \geq e^{2}$ 时， $e^{x} > x^{2}$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数. $0 \leq α < 2 π$ ).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ ，曲线 $C$ 与直线 $l$ 其中的一个交点为A，且点A极径 $ρ_{0} \neq 0$ .极角 $0 \leq θ_{ρ} < \frac{π}{2}$

(1)、求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；

(2)、已知直线 $m$ 的直角坐标方程为 $x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线m与曲线C相交于点B(异于原点O)，求 $Δ A O B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x - 4 |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = | m - 1 |$ 的上方，求实数 $m$ 的取值范围

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分组	$[10，20)$	$[20，30)$	$[30，40)$	$[40，50)$
频数	$2$	$b$	$20$	$10$