黑龙江省哈尔滨市（东北三省四市) 2020届高三下学期理数高考调研模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ，集合 $A = {2, 3, 5, 7}$ ， $B = {1, 2, 4, 6}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${3, 5, 7}$ C、 ${3}$ D、 ${5, 7}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 i}{i - 1}$ ，则Z的虚部为（）

A、－1 B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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3. 2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则 $x + y =$ （）

A、 170 B、10 C、172 D、12

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4. $(1 + 2 x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、5 B、10 C、20 D、30

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5. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积 $V \approx \frac{1}{36} L^{2} h$ 的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式 $V \approx \frac{3}{112} L^{2} h$ 相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{157}{50}$ C、 $\frac{28}{9}$ D、 $\frac{337}{115}$

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6. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ （）

A、56 B、72 C、88 D、40

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7. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \leq 0$ ， $2 x_{0} \leq \sin x_{0}$ ”的否定形式是“ $\forall x > 0$ ， $2 x > \sin x$ ” B、若平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，满足 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ 则 $α // β$ C、随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），若 $P (0 < ξ < 1) = 0.4$ ，则 $P (ξ > 0) = 0.8$ D、设 $x$ 是实数，“ $x < 0$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点与圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 5$ 的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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9. 已知 $A (x_{A}, y_{A})$ 是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{2 π}{3}$ 到OB交圆于点 $B (x_{B}, y_{B})$ ，则 $2 y_{A} + y_{B}$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 从集合 ${- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4}$ 中随机选取一个数记为m，从集合 ${- 2, - 1, 2, 3, 4}$ 中随机选取一个数记为n，则在方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示双曲线的条件下，方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）

A、 $\frac{9}{17}$ B、 $\frac{8}{17}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{9}{35}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x + 1} + 2 ， x \leq 0 ， \\ | \log_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 3 a = 0$ 有六个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(3 ， \frac{16}{5})$ B、 $(3 ， \frac{16}{5}]$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， 4]$

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12. 已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \frac{1}{2} f (x + 2)$ ，且当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ .设 $f (x)$ 在 $[2 n - 2, 2 n)$ 上的最大值为 $a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），且数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ .若对于任意正整数 $n$ 不等式 $k (S_{n} + 1) \geq 2 n - 9$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{32}, + \infty)$ C、 $[\frac{3}{64}, + \infty)$ D、 $[\frac{7}{64}, + \infty)$

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二、填空题

13. 若曲线 $f (x) = a e^{x} - \ln x$ （其中常数 $a \neq 0$ ）在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为1，则 $a =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像.则 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}]$ 上的最小值为.

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15. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去MOB，
将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的

四面体的外接球的体积为.

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，如图AB是过 $F_{1}$ 且垂直于长轴的弦，则 $Δ A B F_{2}$ 的内切圆方程是.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，M为BC边上一点， $∠ B A M = 45 °$ ， $\cos ∠ A M C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\sin B$ ；

(2)、若 $\vec{M C} = \frac{1}{2} \vec{B M}$ ， $A C = 4$ ，求 $M C$ .

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18. 某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：

若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.

(1)、从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；

(2)、根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.

组别	分组	频数	频率	$\frac{频率}{组距}$
1	$[60，70)$
2	$[70，80)$
3	$[80，90)$
4	$[90，100]$

①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

②若从所有员工中任选3人，记 $X$ 表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过C上一点 $P (1, t)$ （ $t > 0$ ）作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，

(1)、证明：直线 $M N$ 的斜率是－1；

(2)、若 $8 | M F |$ ， $| M N |$ ， $| N F |$ 成等比数列，求直线MN的方程.

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20. 如图，在直角 $Δ A O B$ 中， $O A = O B = 2$ ， $Δ A O C$ 通过 $Δ A O B$ 以直线OA为轴顺时针旋转 $120 °$ 得到（ $∠ B O C = 120 °$ ）.点A为斜边AB上一点.点M为线段BC上一点，且 $M B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、证明： $M O ⊥$ 平面 $A O B$ ；

(2)、当直线 $M D$ 与平面 $A O B$ 所成的角取最大值时，求二面角 $B - C D - O$ 的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} + \cos x$ （ $a \in R$ ）， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数.

(1)、当 $a = 1$ 时，令 $h (x) = f^{'} (x) - x + \ln x$ ， $h^{'} (x)$ 为 $h (x)$ 的导数.证明： $h^{'} (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 存在唯一的极小值点；

(2)、已知函数 $y = f (2 x) - \frac{2}{3} x^{4}$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.点 $p (x_{0}, y_{0})$ 在曲线C上，点 $Q (m, n)$ 满足 ${\begin{array}{l} m = 2 x_{0} \\ n = \sqrt{3} y_{0} \end{array}$ .

(1)、以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ 分别是曲线 $C_{1}$ 上第一象限，第二象限上两点，且满足 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，求 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 的值.

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23. 已知关于 $x$ 的不等式 $| x + 1 | - | x - 3 | \geq | m - 2 | + m$ 有解.

(1)、求实数m的最大值 $t$ ；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且满足 $a + b + c = t$ .证明： $a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a \geq 3 a b c$ .

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